Rozwiązania równania

arti88 · Post autor: **arti88** » 10 mar 2013, o 19:15

Ile jest różnych rozwiązań równania \(\displaystyle{ x+y+z+t=30}\) w zbiorze liczb naturalnych ?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 10 mar 2013, o 19:19

Wskazówka:

Co można zrobić z tym ciągiem jedynek

\(\displaystyle{ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1}\)

aby dostać cztery liczby?

arti88 · Post autor: **arti88** » 10 mar 2013, o 19:27

Czy do rozwiązania tego zadania należy użyć kombinacji z powtórzeniami?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 10 mar 2013, o 19:28

Tak, o ile zakładamy, że \(\displaystyle{ 0\in \NN}\).

arti88 · Post autor: **arti88** » 10 mar 2013, o 19:45

A co w sytuacji gdy przyjmiemy 1 jako najmniejszą liczbę naturalną?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 10 mar 2013, o 19:47

Kombinacje z powtórzeniami nie zadziałają.

arti88 · Post autor: **arti88** » 10 mar 2013, o 19:51

Dlaczego nie zadziałają?. Czego zatem użyć do rozwiązania tego zadania przy takim założeniu?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 10 mar 2013, o 19:59

Skoro wiesz, że kombinacje z powtórzeniami działają dla \(\displaystyle{ 0\in\NN}\), to zapewne powinieneś zrozumieć, dlaczego gdy \(\displaystyle{ 0\not\in \NN}\) to kombinacje z powtórzeniami nie zadziałają. Chyba, że strzelałeś to pierwsze. Poza tym, nie podałeś wyniku, więc nie wiem, czy wiesz jak to dokończyć.

arti88 · Post autor: **arti88** » 10 mar 2013, o 20:21

Gdybym wiedział jak rozwiązać to zadanie nie tworzyłbym tego tematu.Widziałem rozwiązanie podobnego zadania dla liczb całkowitych nieujemnych gdzie zastosowane były kombinacje z powtórzeniami stąd mój pomysł.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 10 mar 2013, o 20:26

Okej.

Jeśli założymy, że \(\displaystyle{ 0\in \NN}\) (co u mnie jest normą), to określenie jednego rozwiązania polega na wstawieniu 3 przegródek między jedynkami i przeczytaniu liczb powstałych z tych jedynek, przy czym przegródki można wstawiać w te samo miejsce. Przykład:

\(\displaystyle{ \red |\black 1\ 1\ 1\ \red |\black \red |\black 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1}\)

Daje rozwiązanie \(\displaystyle{ (0,3,0,27)}\)

Jak chcemy mieć rozwiązania w liczbach dodatnich, to przegródki nie mogą znaleźć się w tym samym miejscu, jak i nie mogą na początku i na końcu ciągu.

arti88 · Post autor: **arti88** » 10 mar 2013, o 21:02

Czyli wszystkich miejsc w których można ustawić przegródki jest 31. Gdy odejmiemy dwie możliwości( na początku i na końcu) i nie mogą znajdować się w tym samym miejscu to wtedy będzie kombinacja bez powtórzeń?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 10 mar 2013, o 21:25

Wszystko się zgadza.

arti88 · Post autor: **arti88** » 10 mar 2013, o 21:30

Dziękuje za pomoc