ostatnie 2 cyfry

[leszczu450]

Cześć : )

Jak określić ostatnie dwie cyfry liczby \(\displaystyle{ 2^{2016}}\) . Potrafię znaleźć ostatnia, ale nie wiem jak się zabrać za przedostatnią. Twierdzenie Eulera tu nie działa bo \(\displaystyle{ NWD(2,2016) \neq 1}\).

Proszę o pomoc i z góry dziękuję za odpowiedzi : )

[yorgin]

Metodą prób i błędów bez twierdzeń:

\(\displaystyle{ 2^{20}=1\ 048\ 576\equiv 76 \mod 100\\
2^{20}\cdot 2^2\equiv 76\cdot 2^2=304\equiv 4\mod 100}\)

czyli

\(\displaystyle{ 2^{22}\equiv 2^2 \mod 100}\).

Wszystko bez kalkulatora.

Okres jest równy 20, więc

\(\displaystyle{ 2^{2016}\equiv 2^{16}=65\ 536}\).

To chyba tyle.

[leszczu450]

yorgin, skąd od razu wiesz, że okres równy jest \(\displaystyle{ 20}\) ?

[yorgin]

Dwie ostatnie cyfry liczby \(\displaystyle{ 2^2}\) są takie same jak dwie ostatnie cyfry liczby \(\displaystyle{ 2^{22}}\). Więc jak zacznę mnożyć \(\displaystyle{ 2^{22}}\) to tak naprawdę jakbym mnożył \(\displaystyle{ 2^2}\), gdyż interesują mnie tylko dwie ostatnie cyfry.

[leszczu450]

Dzięki wielkie : )