Funkcje tworzące

[lustro2204]

Witam , mam problem z zadaniem dot. funkcji tworzących.
1. Dla n należących do naturalnych wyznaczyć wartość sumy
\(\displaystyle{ S_{n}= \sum \nolimits_ {k = 0}^{n} (3 k^{2} - 2^{k} k + 5) ({n\atop k})}\)
Wyznaczeniem funkcji tworzącej \(\displaystyle{ 3 k^{2}}\) i \(\displaystyle{ 5}\) sobie radzę, ale co zrobić z - \(\displaystyle{ 2^{k} k}\) ?


Oraz jeszcze drugie pytanie : Wyznacz wzór na funkcję tworzącą ciągu : \(\displaystyle{ a _{n}=2 ^{2n+1}}\) Czy coś można zrobić \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} (4 ^{n} *2) x ^{n}}\) ? Jeśli tak to co dalej ?
Z góry dziękuje za pomoc

[yorgin]

1. Dla brakującego kawałka zacznij standardowo:

\(\displaystyle{ (1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}x^k}\)

Dalej pochodna

\(\displaystyle{ n(1+x)^{n-1}=\sum\limits_{k=1}^nk{n\choose k}x^{k-1}}\)

mnożenie przez \(\displaystyle{ x}\)

\(\displaystyle{ nx(1+x)^{n-1}=\sum\limits_{k=0}^nk{n\choose k}x^{k}}\)

i podstawienie \(\displaystyle{ x=2}\)

\(\displaystyle{ n2(1+2)^{n-1}=\sum\limits_{k=0}^nk{n\choose k}2^{k}}\)

2. \(\displaystyle{ a_n=4\cdot 4^n}\)

Funkcja tworząca ma postać

\(\displaystyle{ f(x)=4\cdot \sum\limits_{k=0}^\infty 4^kx^k=\frac{4}{1-4x}}\)

[lustro2204]

ok dzięki