Liczby Stirlinga

[Honzik18]

Wyznaczyć wartości \(\displaystyle{ a=\begin{Bmatrix}n\\1\end{Bmatrix}}\) i \(\displaystyle{ b=\begin{bmatrix}n\\n-1\end{bmatrix}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) i je uzasadnić.

Podstawiłem pod wzory i wszyło mi:
\(\displaystyle{ a=\begin{Bmatrix}n\\1\end{Bmatrix}=1 \times \begin{Bmatrix}n-1\\1\end{Bmatrix}+ \begin{Bmatrix}n-1\\1-1\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\1\end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix}n-1\\0\end{Bmatrix}=1+0=1}\) dla \(\displaystyle{ n-1 \ge 0}\)

\(\displaystyle{ b=\begin{bmatrix}n\\n-1\end{bmatrix}=(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\n-1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}n-1\\n-2\end{bmatrix}=(n-1)+\begin{bmatrix}n-1\\n-2\end{bmatrix}}\)

Nie wiem co z tym dalej zrobić.

[yorgin]

Nie tędy droga do cyklowej liczby.

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}n\\n-1\end{bmatrix}}\)

opisuje rozkład permutacji n-elementowej na n-1 cykli. Ale to musi być tylko i wyłącznie permutacja będąca transpozycją dwóch elementów i identycznością na pozostałych. Nie ma innych permutacji z n-1 cyklami. Zatem podział wyznaczony jest przez wybór transpozycji. Czyli wybieramy dwa elementy ze zbioru n-elementowego. Jest to więc liczba

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}n\\n-1\end{bmatrix}={n\choose 2}}\)

Natomiast co do liczby podziałów - dzielisz zbiór n-elementowy na jeden zbiór. Można to zrobić tylko na jeden sposób. I taka jest odpowiedź.

[Honzik18]

No w sumie patrząc na definicje jest to logiczne chociaż nie rozwiązał bym tego. Dzięki