Ciąg zadany rekurencyjnie..

[luckaminski]

Ciąg dany jest rekurencyjnie:

\(\displaystyle{ a_{0}=0, a_{1}=1, a_{n+2}=6a_{n+1}-13a_{n}.}\)

Udowodnij, że \(\displaystyle{ \left| a_{n}\right| < 4^{n}.}\)

Jak rozwiązać to zadanie. Wiem, że można w tym celu posłużyć się zdiagonalizowanymi macierzami, ale w jaki sposób?

Z góry dzięki za podpowiedzi,

ŁK

[octahedron]

Ja mam taki pomysł:

\(\displaystyle{ a_{n+2}-6a_{n+1}+13a_n=0\\\\
a_n=Cq^n\\\\
Cq^{n+2}-6Cq^{n+1}+13Cq^n=0\\\\
q^2-6q+13=0\\\\
q_1=3+2i\\\\
q_2=3-2i\\\\
a_n=C_1(3+2i)^n+C_2(3-2i)^n\\\\
\begin{cases}a_0=C_1+C_2=0\\a_1=3(C_1+C_2)+2i(C_1-C_2)=1\end{cases}\\\\
a_n=-\frac{i}{4}(3+2i)^n+\frac{i}{4}(3-2i)^n=\frac{i}{4}\left[(3-2i)^n-(3+2i)^n\right]\\\\
|a_n|=\frac{1}{4}\bigg|(3-2i)^n-(3+2i)^n\bigg|\le 2\cdot \frac{1}{4}\bigg|(3-2i)^n\bigg|=\frac{\sqrt{13^n}}{2}<\frac{\sqrt{4\cdot 16^n}}{2}=4^n}\)

[luckaminski]

Pięknie dziękuję.