wartość sumy

[TLOTR]

podany mam następujący szereg:

\(\displaystyle{ Sn= \sum_{k=0}^{n} (3k^{2} - 2^{k} k+5) {n \choose k}}\)

Wiem jaki jest schemat rozwiązywania takiego rodzaju zadań jednak w tym przypadku wystepuje \(\displaystyle{ 2^{k}k}\) i w tym miejscu pojawia się problem bo po wymnożeniu i przekształceniu otrzymam:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} 2^{k}k {n \choose k}}\) i co dalej mam z tym zrobić. Mma osobno ustalić wzór dla \(\displaystyle{ 2^{k}}\) i dla \(\displaystyle{ k {n \choose k}}\) a potem wymnożyć te dwa wzory? Czy w takim wypadku postępujemy inaczej?

[Qń]

Skorzystaj z faktu, że:
\(\displaystyle{ k \binom nk = n \binom{n-1}{k-1}}\)

Q.

[TLOTR]

Jeśli skorzystam z tej zależności to będę mieć:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} 2^{k} n {n-1 \choose k-1} \right)}\)

i dalej nie wiem za bardzo co mogę z tym zrobić? No chyba, ze istnieją jakieś wzory o których nie wiem? Mogę liczyć na jeszcze jakąś jedną podpowiedź?

[Qń]

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} 2^{k} n {n-1 \choose k-1} \right)= \sum_{k=1}^{n} 2^{k} n {n-1 \choose k-1} \right)=2n\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} {n-1 \choose k-1} \right)}\)

Q.

[TLOTR]

Okey więc chyba mniej więcej już rozumiem.
Czyli, że możemy tutaj skorzystać z wzoru
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} {n \choose k} =[n=0]}\)
a więc:
\(\displaystyle{ 2n \sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} {n-1 \choose k-1} = 2n * [n-1=0]}\) czyli poprostu 2n?