funkcja 2 zmiennych - z postaci rekurencyjnej do ogolnej

[ka_zz]

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ a(n,k)~dla~0 \le n~i~0 \le k \le n}\):
\(\displaystyle{ a(n,0)=1}\)
\(\displaystyle{ a(n,n)=(-1)^{n} n!}\)
\(\displaystyle{ a(n,k)=a(n-1,k)-k \cdot a(n-1,k-1)}\)

Wyznaczyć wzór \(\displaystyle{ a(n,k)=?}\)

[kropka+]

Jak sobie rozpiszesz wartości tej funkcji dla \(\displaystyle{ n=0,1,2,3,4,5}\) to dostajesz:

\(\displaystyle{ 1\\
1 \ -1\\
1 \ -2 \ \ 2\\
1 \ -3 \ \ 6 \ \ -6\\
1 \ -4 \ 12 \ -24 \ \ 24\\
1 \ -5 \ 20 \ -60 \ 120 \ -120\\}\)

Teraz rozpisujesz sobie kolejne silnie:

\(\displaystyle{ 0!=1\\
1!=1\\
2!=2\\
3!=6\\
4!=24\\
5!=120}\)

A teraz zauważasz już szukany wzór:

\(\displaystyle{ a(n,k)=(-1) ^{k} \frac{n!}{(n-k)!}}\)