Postać jawna ciągu rekurencyjnego

[Dziubasek123]

Jak zapisać postać jawną Ciągu zapisanego rekurencyjnie

dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\)

a) \(\displaystyle{ a_{1} = 2

a _{n} =5 a_{n-1}}\)

[yorgin]

To jest ciąg geometryczny, obok arytmetycznego jest to najprostszy możliwy ciąg...

[Dziubasek123]

To rozumiem, ale jak zapisać postać jawną tego ciągu. Bo to raczej nie jest tak jak w równaniach rekurencynych (z s1 i s2 )
a nie wiem cóż z tym zrobić - choć pewnie utrudniam sobie zadanie)

[yorgin]

A jak wygląda wzór ogólny ciągu geometrycznego?

[Dziubasek123]

\(\displaystyle{ a _{n} =a _{1} \cdot q ^{n-1}}\)

[yorgin]

A czym jest u Ciebie \(\displaystyle{ a_1}\) oraz \(\displaystyle{ q}\) ?

[Dziubasek123]

\(\displaystyle{ a _{1}=2}\) ale q?

[yorgin]

\(\displaystyle{ a_1}\) ok.

Skąd \(\displaystyle{ q?}\) Przyjrzyj się postaci wzoru rekurencyjnego.

[Dziubasek123]

Teoretycznie pewnie można by jakoś wyliczyć ale ja nie widzę tam tego

[yorgin]

Nic nie trzeba liczyć.

Masz \(\displaystyle{ a_{n}=5a_{n-1}}\) stąd \(\displaystyle{ q=5}\).

Jak nie widzisz, to patrz na to:

\(\displaystyle{ a_1=2\\
a_2=5\cdot 2\\
a_3=5\cdot 5\cdot 2=5^2\cdot 2\\
a_4=5\cdot 5^2\cdot 2=5^3\cdot 2\\
\vdots\\
a_n=2\cdot 5^{n-1}}\)

[Dziubasek123]

Ahaaa
Dziękuję BARDZO!