Funkcje tworzące

[hulahulabula]

Niech \(\displaystyle{ a_n=5^n-3 \cdot 2^n +1}\) i mam wyznaczyć postać funkcji tworzącej dla ciągu \(\displaystyle{ S_n}\)
\(\displaystyle{ S_n= \sum\limits_{n=0}7(n-k)a_k}\).Proszę o pomoc

[yorgin]

Zacznij od wyznaczenia postaci funkcji tworzącej ciągu \(\displaystyle{ a_n}\). Powiedzmy, jest to \(\displaystyle{ f=f(x)}\).

Następnie znajdź funkcję tworzącą ciągu \(\displaystyle{ b_n=7n}\), niech to będzie \(\displaystyle{ g=g(x)}\).

Teraz \(\displaystyle{ h(x)=f(x)g(x)}\) jest funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ S_n}\) z własności splotu szeregów.

[hulahulabula]

czyli jak??
jak policzylam funkcje tworzacą dla a_n czyli:
\(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{1-5x} - \frac{3}{1-2x} + \frac{1}{1-x}}\)
i teraz osobno dla \(\displaystyle{ b_n=7n}\) ??
i pozniej to pomnożyc oba (\(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\)) i to juz jest moje \(\displaystyle{ S_n}\)??

-- 6 lut 2013, o 15:57 --

jak mam wyznaczyc w ogole funkcje tworzącą dla \(\displaystyle{ 7n}\)??

[yorgin]

Przeczytaj jeszcze raz to, co napisałem. Tam są wszystkie niezbędne informacje potrzebne do wyznaczenia funkcji tworzącej ciągu \(\displaystyle{ S_n}\).

A jak wyznaczyć funkcję tworzącą dla \(\displaystyle{ b_n=7n}\)? Takie rzeczy to podstawa, musiało być na ćwiczeniach.

Na wszelki wypadek podam wzór...

\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^{m+1}}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{m+n\choose n}x^n}\)

Albo wykorzystaj pochodne.

[vpprof]

F.t. dla ciągu \(\displaystyle{ b_n=7n}\) to \(\displaystyle{ \frac{7x}{\left( 1-x\right)^2 }}\) nie trzeba nic liczyć, tylko nie bardzo rozumiem tę sumę we wzorze na \(\displaystyle{ S_n= \sum\limits_{n=0}7(n-k)a_k}\), tzn. nie rozumiem tego \(\displaystyle{ k}\), ale z tego co mówi yorgin to
\(\displaystyle{ S_n=\left( \frac{1}{1-5x} - \frac{3}{1-2x} + \frac{1}{1-x}\right) \left( \frac{7x}{\left( 1-x\right)^2 }\right)}\)
i dalej to poupraszczać.

Tak?

[yorgin]

Nie rozumiesz, dlatego że powinno być poprawnie

\(\displaystyle{ S_n=\sum\limits_{k=0}^n7(n-k)a_k}\)

Jako że znam się trochę na tym, od razu zrozumiałem zapis. Niestety nie każdy potrafi...

\(\displaystyle{ S_n=\left( \frac{1}{1-5x} - \frac{3}{1-2x} + \frac{1}{1-x}\right) \left( \frac{7x}{\left( 1-x\right)^2 }\right)}\)

Tak to będzie.

[vpprof]

yorgin, jak znasz się na f-cjach tworzących, to może zerknąłbyś na ten wątek? https://www.matematyka.pl/309420.htm

[hulahulabula]

dzięki wielkie wystarczy jeden przykład i juz człowiek zaczyna łapac co i jak