Na ile sposobów można rozmieścić 20 identycznych przedmiotów w trzech
ponumerowanych urnach, tak by w każdej urnie znalazło się co najmniej 3 przedmioty.
w jaki sposób się rozwiązuje tego typu kombinacje??
rozmieszczenie przedmiotów
-
kosa248
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 20 sie 2011, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 2 razy
rozmieszczenie przedmiotów
Musisz zwrócić uwagę na to, co jest rozróżnialne, a co nie, i pomyśleć nad tym, co z tego wynika. Skoro przedmioty są nierozróżnialne, to nie ma znaczenia, który jest w jakiej urnie. Znaczenie ma tylko ich ilość. Ponieważ mamy założenie, że w każdej urnie muszą znajdować się co najmniej 3 przedmioty i przedmioty te są identyczne, możemy równie dobrze rozpatrywać, na ile sposobów można rozmieścić 11 przedmiotów, bo 9 jest rozmieszczonych od razu (po 3 w każdej urnie).
Niech przedmioty będą reprezentowane przez "O". Mamy ich 11:
O O O O O O O O O O O
Rozmieszczenie ich do 3 rozróżnialnych urn oznacza podział 11-elementowego zbioru na 3 podzbiory, a ponieważ przedmioty są identyczne, podział ten możemy wyobrazić sobie przez wstawienie dwóch kresek pomiędzy kulki, przed nie bądź za nie, gdyż nie musimy wrzucać przedmiotów do wszystkich urn, skoro w każdej już mamy po 3.
Przykład:
| O O O O | O O O O O O O
Ilość przedmiotów na lewo od pierwszej kreski wędruje do urny nr 1, spomiędzy kresek do "dwójki", a na prawo od drugiej kreski do "trójki".
Zauważmy przy tym, że możliwa jest następująca sytuacja:
O O O O O | | O O O O O O (5 w nr 1, 0 w nr 2, 6 w nr 3)
Skoro obie kreski mogą być w tym samym miejscu, nie będziemy mieli do czynienia z kombinacjami, lecz z wariacjami bez powtórzeń.
Mamy 12 miejsc na kreskę (10 pomiędzy kulkami oraz 2 na zewnątrz), więc wszystkich możliwości jest 12^2 = 144.
Tak mi się wydaje na pierwszy rzut oka. Poprawcie mnie, jeśli się mylę.
EDIT
Przepraszam, jednak kombinacje. W przypadku wariacji zliczamy większość przypadków dwukrotnie.
11 kółek + 2 kreski, wybieramy 2 miejsca na kreski:
\(\displaystyle{ {13\choose2} = 78}\)
Niech przedmioty będą reprezentowane przez "O". Mamy ich 11:
O O O O O O O O O O O
Rozmieszczenie ich do 3 rozróżnialnych urn oznacza podział 11-elementowego zbioru na 3 podzbiory, a ponieważ przedmioty są identyczne, podział ten możemy wyobrazić sobie przez wstawienie dwóch kresek pomiędzy kulki, przed nie bądź za nie, gdyż nie musimy wrzucać przedmiotów do wszystkich urn, skoro w każdej już mamy po 3.
Przykład:
| O O O O | O O O O O O O
Ilość przedmiotów na lewo od pierwszej kreski wędruje do urny nr 1, spomiędzy kresek do "dwójki", a na prawo od drugiej kreski do "trójki".
Zauważmy przy tym, że możliwa jest następująca sytuacja:
O O O O O | | O O O O O O (5 w nr 1, 0 w nr 2, 6 w nr 3)
Skoro obie kreski mogą być w tym samym miejscu, nie będziemy mieli do czynienia z kombinacjami, lecz z wariacjami bez powtórzeń.
Mamy 12 miejsc na kreskę (10 pomiędzy kulkami oraz 2 na zewnątrz), więc wszystkich możliwości jest 12^2 = 144.
Tak mi się wydaje na pierwszy rzut oka. Poprawcie mnie, jeśli się mylę.
EDIT
Przepraszam, jednak kombinacje. W przypadku wariacji zliczamy większość przypadków dwukrotnie.
11 kółek + 2 kreski, wybieramy 2 miejsca na kreski:
\(\displaystyle{ {13\choose2} = 78}\)