Indukcja matematyczna

[Rosee1993]

Udowodnić, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) istnieją takie liczby \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{N}}\), że

\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=14^n}\)

(wskazówka:\(\displaystyle{ 1^2+2^2+3^2=14}\) oraz \(\displaystyle{ 4^2+6^2+12^2=14^2}\)

[Kartezjusz]

Skąd to zadanie?

[yorgin]

Wskazówka nr 2.

Wykaż indukcyjnie, że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste i \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=14^n}\), to istnieją \(\displaystyle{ d,e,f,}\) takie że \(\displaystyle{ d^2+e^2+f^2=14^{n+2}}\).
Wykaż to samo w przypadku, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste.