wyzanczyć wartość sumy
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 28 gru 2009, o 20:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
wyzanczyć wartość sumy
czy ktoś mógłby mi pomóc albo dać jakieś wskazówki jak rozwiązać takie zadanie:)
Dla \(\displaystyle{ n \in N}\)wyznaczyć wartość sumy
\(\displaystyle{ Sn= \sum_{k=0}^{n}(2k^{2}-3k+1){n\choose k}}\)
Dla \(\displaystyle{ n \in N}\)wyznaczyć wartość sumy
\(\displaystyle{ Sn= \sum_{k=0}^{n}(2k^{2}-3k+1){n\choose k}}\)
Ostatnio zmieniony 30 sty 2013, o 17:42 przez kkk12, łącznie zmieniany 1 raz.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
wyzanczyć wartość sumy
Wskazówki:
\(\displaystyle{ (1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}x^k}\)
Weź pochodną i pomnóż przez \(\displaystyle{ x}\). Co wyjdzie?
Zrób tak raz jeszcze, co tym razem wyjdzie?
\(\displaystyle{ (1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}x^k}\)
Weź pochodną i pomnóż przez \(\displaystyle{ x}\). Co wyjdzie?
Zrób tak raz jeszcze, co tym razem wyjdzie?
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 28 gru 2009, o 20:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
wyzanczyć wartość sumy
wyjdzie
\(\displaystyle{ \left(x\left( n\left( 1+x\right)^{n-1} \right) \right) ^{'}= \frac{1}{x} \sum_{k=0}^{n}{n\choose k} k^2 x^k}\)
i co dalej (nie wiem jak policzyć tą pochodną)?
\(\displaystyle{ \left(x\left( n\left( 1+x\right)^{n-1} \right) \right) ^{'}= \frac{1}{x} \sum_{k=0}^{n}{n\choose k} k^2 x^k}\)
i co dalej (nie wiem jak policzyć tą pochodną)?
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
wyzanczyć wartość sumy
Po prawej stronie nie powinno być czynnika \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\)
A pochodna? Wzór na iloczyn pochodnych:
\(\displaystyle{ (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)=f(x)g'(x)}\)
A pochodna? Wzór na iloczyn pochodnych:
\(\displaystyle{ (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)=f(x)g'(x)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 28 gru 2009, o 20:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
wyzanczyć wartość sumy
w tym wzorze na ile=oczyn to zamiast drugiego= ma być +
czyli wychodzi coś takiego
\(\displaystyle{ n\left( 1+x\right) ^{n-1}+xn(n-1)(1+x) ^{n-2}= \sum_{k=0}^{n}{n\choose k} k^2 x^k}\)
?
jeśli tak to co powinnam dalej z tym zrobić?
czyli wychodzi coś takiego
\(\displaystyle{ n\left( 1+x\right) ^{n-1}+xn(n-1)(1+x) ^{n-2}= \sum_{k=0}^{n}{n\choose k} k^2 x^k}\)
?
jeśli tak to co powinnam dalej z tym zrobić?
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
wyzanczyć wartość sumy
Dobra, po kolei, byśmy się nie pogubili:
\(\displaystyle{ (1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}x^k \qquad |()'\\
n(1+x)^{n-1}=\sum\limits_{k=1}^n{n\choose k}kx^{k-1}\qquad |\cdot x\\
nx(1+x)^{n-1}=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}kx^k\qquad |()'\\
n(1+x)^{n-1}+n(n-1)x(1+x)^{n-2}=\sum\limits_{k=1}^n{n\choose k}k^2x^{k-1}\qquad |\cdot x\\
nx(1+x)^{n-1}+n(n-1)x^2(1+x)^{n-2}=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}k^2x^k}\)
A co dalej? Przyjrzyj się sumie, którą masz policzyć, oraz pierwszej, trzeciej i piątej linijce tego, co napisałem.
\(\displaystyle{ (1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}x^k \qquad |()'\\
n(1+x)^{n-1}=\sum\limits_{k=1}^n{n\choose k}kx^{k-1}\qquad |\cdot x\\
nx(1+x)^{n-1}=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}kx^k\qquad |()'\\
n(1+x)^{n-1}+n(n-1)x(1+x)^{n-2}=\sum\limits_{k=1}^n{n\choose k}k^2x^{k-1}\qquad |\cdot x\\
nx(1+x)^{n-1}+n(n-1)x^2(1+x)^{n-2}=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}k^2x^k}\)
A co dalej? Przyjrzyj się sumie, którą masz policzyć, oraz pierwszej, trzeciej i piątej linijce tego, co napisałem.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
wyzanczyć wartość sumy
To dla porządku moje rozważania:
Podstaw w pierwszej linijce moich rozważań \(\displaystyle{ x=1}\). Dostaniesz wartość
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}}\)
Podstaw w trzeciej linijce moich rozważań \(\displaystyle{ x=1}\). Dostaniesz wartość
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n{n\choose k}k}\)
Podstaw w piątej linijce moich rozważań \(\displaystyle{ x=1}\). Dostaniesz wartość
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}k^2}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}(2k^{2}-3k+1){n\choose k}=2\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}k^2-3\sum_{k=0}^n{n\choose k}k+1\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}}\)\(\displaystyle{ (1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}x^k \qquad |()'\\ n(1+x)^{n-1}=\sum\limits_{k=1}^n{n\choose k}kx^{k-1}\qquad |\cdot x\\ nx(1+x)^{n-1}=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}kx^k\qquad |()'\\ n(1+x)^{n-1}+n(n-1)x(1+x)^{n-2}=\sum\limits_{k=1}^n{n\choose k}k^2x^{k-1}\qquad |\cdot x\\ nx(1+x)^{n-1}+n(n-1)x^2(1+x)^{n-2}=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}k^2x^k}\)
Podstaw w pierwszej linijce moich rozważań \(\displaystyle{ x=1}\). Dostaniesz wartość
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}}\)
Podstaw w trzeciej linijce moich rozważań \(\displaystyle{ x=1}\). Dostaniesz wartość
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n{n\choose k}k}\)
Podstaw w piątej linijce moich rozważań \(\displaystyle{ x=1}\). Dostaniesz wartość
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}k^2}\)
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
wyzanczyć wartość sumy
Dodać je według schematu
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}(2k^{2}-3k+1){n\choose k}=2\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}k^2-3\sum_{k=0}^n{n\choose k}k+1\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}}\)
Powodzenia na egzaminie
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}(2k^{2}-3k+1){n\choose k}=2\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}k^2-3\sum_{k=0}^n{n\choose k}k+1\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}}\)
Powodzenia na egzaminie