wyzanczyć wartość sumy

[kkk12]

czy ktoś mógłby mi pomóc albo dać jakieś wskazówki jak rozwiązać takie zadanie:)

Dla \(\displaystyle{ n \in N}\)wyznaczyć wartość sumy
\(\displaystyle{ Sn= \sum_{k=0}^{n}(2k^{2}-3k+1){n\choose k}}\)

[yorgin]

Wskazówki:

\(\displaystyle{ (1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}x^k}\)

Weź pochodną i pomnóż przez \(\displaystyle{ x}\). Co wyjdzie?

Zrób tak raz jeszcze, co tym razem wyjdzie?

[kkk12]

wyjdzie
\(\displaystyle{ \left(x\left( n\left( 1+x\right)^{n-1} \right) \right) ^{'}= \frac{1}{x} \sum_{k=0}^{n}{n\choose k} k^2 x^k}\)

i co dalej (nie wiem jak policzyć tą pochodną)?

[yorgin]

Po prawej stronie nie powinno być czynnika \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\)

A pochodna? Wzór na iloczyn pochodnych:

\(\displaystyle{ (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)=f(x)g'(x)}\)

[kkk12]

w tym wzorze na ile=oczyn to zamiast drugiego= ma być +

czyli wychodzi coś takiego
\(\displaystyle{ n\left( 1+x\right) ^{n-1}+xn(n-1)(1+x) ^{n-2}= \sum_{k=0}^{n}{n\choose k} k^2 x^k}\)


?

jeśli tak to co powinnam dalej z tym zrobić?

[yorgin]

Dobra, po kolei, byśmy się nie pogubili:

\(\displaystyle{ (1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}x^k \qquad |()'\\
n(1+x)^{n-1}=\sum\limits_{k=1}^n{n\choose k}kx^{k-1}\qquad |\cdot x\\
nx(1+x)^{n-1}=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}kx^k\qquad |()'\\
n(1+x)^{n-1}+n(n-1)x(1+x)^{n-2}=\sum\limits_{k=1}^n{n\choose k}k^2x^{k-1}\qquad |\cdot x\\
nx(1+x)^{n-1}+n(n-1)x^2(1+x)^{n-2}=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}k^2x^k}\)

A co dalej? Przyjrzyj się sumie, którą masz policzyć, oraz pierwszej, trzeciej i piątej linijce tego, co napisałem.

[kkk12]

przyjrzałam się i nic, nie mam zielonego pojęcia

[yorgin]

To dla porządku moje rozważania:

\(\displaystyle{ (1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}x^k \qquad |()'\\ n(1+x)^{n-1}=\sum\limits_{k=1}^n{n\choose k}kx^{k-1}\qquad |\cdot x\\ nx(1+x)^{n-1}=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}kx^k\qquad |()'\\ n(1+x)^{n-1}+n(n-1)x(1+x)^{n-2}=\sum\limits_{k=1}^n{n\choose k}k^2x^{k-1}\qquad |\cdot x\\ nx(1+x)^{n-1}+n(n-1)x^2(1+x)^{n-2}=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}k^2x^k}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}(2k^{2}-3k+1){n\choose k}=2\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}k^2-3\sum_{k=0}^n{n\choose k}k+1\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}}\)

Podstaw w pierwszej linijce moich rozważań \(\displaystyle{ x=1}\). Dostaniesz wartość

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}}\)

Podstaw w trzeciej linijce moich rozważań \(\displaystyle{ x=1}\). Dostaniesz wartość

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n{n\choose k}k}\)

Podstaw w piątej linijce moich rozważań \(\displaystyle{ x=1}\). Dostaniesz wartość

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}k^2}\)

[kkk12]

aha, i wystarczy dodać te wyniki i to będzie rozwiązanie?

[yorgin]

Dodać je według schematu

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}(2k^{2}-3k+1){n\choose k}=2\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}k^2-3\sum_{k=0}^n{n\choose k}k+1\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}}\)

Powodzenia na egzaminie

[kkk12]

nie dziękuje.


wielkie dzięki za wytłumaczenie:)