obliczyc warosc sumy

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Awatar użytkownika
Gogeta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 18 sie 2011, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 3 razy

obliczyc warosc sumy

Post autor: Gogeta »

Obliczyc
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}(k+1)5^k {n \choose k}}\)
Moje rozwiazanie:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}(k+1)5^k {n \choose k}=\sum_{k=0}^{n}k5^k {n \choose k}+\sum_{k=0}^{n}5^k {n \choose k}=\left[ \sum_{k=0}^{n}5^k {n \choose k}\right] '+\sum_{k=0}^{n}5^k {n \choose k}=\left[ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}x^k-5^{n-k}\right]' + \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}x^k-5^{n-k} =n6^{n-1}+6^n}\)

Tak powinno wyjsc?
Awatar użytkownika
PrzeChMatematyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 178
Rejestracja: 18 lis 2008, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 20 razy

obliczyc warosc sumy

Post autor: PrzeChMatematyk »

Nie jest dobrze, wystarczy wziąć np. \(\displaystyle{ n=2}\) i sprawdzić...

\(\displaystyle{ (x+1)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}x^{k}}\)
\(\displaystyle{ ((x+1)^{n})^{'}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}kx^{k-1}}\)
\(\displaystyle{ n(x+1)^{n-1}=\frac{1}{x}\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}kx^{k} \ x\neq 0}\)
\(\displaystyle{ x(n(x+1)^{n-1})=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}kx^{k}}\)
i teraz \(\displaystyle{ x=5}\)
ODPOWIEDZ