Wyznacz funkcje tworzaca

[Gogeta]

Wyznacz funkcje tworzaca \(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n \ge 0}^{}a_nx^n}\)
ciagu \(\displaystyle{ a_n= \sum_{k=0}^{n}k3^k}\) prosiłbym o sprawdzenie mojego rozwiazania.

Najpierw policzylem postac zwarta sumy \(\displaystyle{ a_n= \sum_{k=0}^{n}k3^k}\)
wyszło mi \(\displaystyle{ a_k= \frac{3}{2} \cdot k3^k- \frac{3}{4} \cdot 3^k+ \frac{3}{4}}\)
teraz wsadzilem ten ciag do funkcji tworzacej
\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{k \ge 0}^{}(\frac{3}{2} \cdot k3^k- \frac{3}{4} \cdot 3^k+ \frac{3}{4})x^n = \frac{3}{2} \sum_{k=0}^{ \infty }k3^kx^k - \frac{3}{4} \sum_{k=0}^{ \infty }3^kx^k+ \frac{3}{4} \sum_{k=0}^{ \infty }x^k}\)

No i teraz funckja tworzaca to:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ \frac{9x}{2} }{(1-3x)^2} - \frac{ \frac{3}{4} }{1-3x} + \frac{ \frac{3}{4} }{1-x}}\)

Dobrze to jest?

[yorgin]

Jest dobrze.

Ale jest bardzo źle policzone. Ewidentnie nie tak to zadanie należało zrobić.

Moje króciutkie rozwiązanie:

Funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ b_n=n3^n}\) jest funkcja \(\displaystyle{ \frac{3x}{(1-3x)^2}}\) (można to w 3 linijkach wyprowadzić). Zatem funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) jest po prostu iloczyn

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{3x}{(1-3x)^2}\cdot\frac{1}{1-x}}\)

[Gogeta]

zadam moze glupie pytanie ale wole wiedziec zeby na przyszlosc tak nie pisac bezsensownie. Skad mam wiedziec ze to jest iloczyn funkcji tworzacych?

[yorgin]

To jest podstawowa własność funkcji tworzących:

Jeśli

\(\displaystyle{ f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n\\
g(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n}\)

to

\(\displaystyle{ f(x)g(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\sum\limits_{k=0}^na_kb_{n-k}\right)x^n}\)

W tym zadaniu \(\displaystyle{ b_n=1}\)

[Gogeta]

Dzieki wielkie

[KisielPoObiedzie]

Chciałbym odświeżyć ten temat, mam nadzieję że to nie problem. W razie czego prosiłbym o np. przeniesienie do nowego wątku.

Moje pytanie dotyczy tego fragmentu:

Funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ b_n=n3^n}\) jest funkcja \(\displaystyle{ \frac{3x}{(1-3x)^2}}\) (można to w 3 linijkach wyprowadzić).

No właśnie jak to wyprowadzić? Proszę o rozwiązanie lub chociaż wskazówkę.

[yorgin]

Masz

\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}^\infty 3^nx^n=\frac{1}{1-3x}}\).

Wystarczy teraz zróżniczkować i pomnożyć przez \(\displaystyle{ x}\) obustronnie.

[KisielPoObiedzie]

Wystarczy teraz zróżniczkować i pomnożyć przez x obustronnie.

Dlaczego? Co ma w ogóle \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}^\infty 3^nx^n}\) do \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}^\infty n3^nx^n}\), bo przecież to mamy obliczyć?

[yorgin]

To, że jedno z drugiego otrzymasz po wykonaniu napisanych przeze mnie operacji.

[KisielPoObiedzie]

Dobrze. Faktycznie wyszło poprawnie, ale dlaczego akurat w ten sposób miałem to zrobić? Skąd to się wzięło? Miałem obliczyć \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}^\infty n3^nx^n}\), a zrobiłem to różniczkując i mnożąc przez \(\displaystyle{ x}\) funkcję tworzącą zupełnie innego ciągu. Tego nie rozumiem.

[yorgin]

A co w tym dziwnego? Startujemy od funkcji tworzącej znanego ciągu i wykonując operację na niej otrzymujemy inną funkcję tworzącą innego ciągu. Taki zabieg jest często stosowany. I jak widać jest też skuteczny.

[KisielPoObiedzie]

A co w tym dziwnego?

Nie wiem skąd wiadomo, że to co nam wyszło po tych operacjach, czyli \(\displaystyle{ \frac{3x}{(1-3x)^2}}\) jest akurat funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ n3^n}\).

[yorgin]

Sprawdź dokładnie, co dzieje się z szeregiem, od którego startujemy, gdy go różniczkujemy i potem przez coś mnożymy.