Matematyka konkretna

[Malinkapysia]

Oblicz sumę \(\displaystyle{ A_{n}}\).


\(\displaystyle{ A_{n}=\sum_{j=1}^{n} j \cdot [j +(-1)^{j} ]}\)

Zamień na układ równań rekurencyjnych i zastosuj pojęcie splotu. Mógłby to ktoś rozwiązać?

[yorgin]

Równanie rekurencyjne:

\(\displaystyle{ A_0=0\\
A_n=A_{n-1}+n^2+(-1)^nn}\)

Szukanie sumy nie wymaga liczenia fukncji tworzącej tego ciągu. Wystarczy policzyć fukncję tworząca ciągu

\(\displaystyle{ a_0=0\\
a_n=n^2+(-1)^nn}\)

i spleść ją z funkcją \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}}\)

[Ponewor]

Rozwiązanie elementarne:    

\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n} j \cdot \left(j +(-1)^{j} \right)= \sum_{j=1}^{n}\left(j^{2}+j \left(-1 \right)^{j} \right) = \sum_{j=1}^{n}j^{2}+ \sum_{j=1}^{n}j \left(-1 \right)^{j}= \\ =\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}+\sum_{j=1}^{n}j \left(-1 \right)^{j}}\)
Pozostaje tylko wyznaczyć sumę \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}j \left(-1 \right)^{j}}\).
Niech \(\displaystyle{ n}\) parzyste, czyli \(\displaystyle{ n=2k}\) przy pewnym całkowitym \(\displaystyle{ k}\):
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}j \left(-1 \right)^{j}=\sum_{j=1}^{2k}j \left(-1 \right)^{j}=\sum_{j=1}^{k}\left(2j \left(-1 \right)^{2j}+\left(2j-1\right)\left(-1\right)^{2j-1}\right)= \sum_{j=1}^{k}\left(2j-\left(2j-1\right)\right)= \sum_{j=1}^{k}1= k=\frac{n}{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ n}\) nieparzyste, czyli \(\displaystyle{ n=2k-1}\) przy pewnym całkowitym \(\displaystyle{ k}\):
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}j \left(-1 \right)^{j}=\sum_{j=1}^{2k-1}j \left(-1 \right)^{j}=\sum_{j=1}^{n}j \left(-1 \right)^{j}=\sum_{j=1}^{2k-1}\left(j \left(-1 \right)^{j}\right)+2k \left(-1\right)^{2k}-2k \left(-1\right)^{2k}= \sum_{j=1}^{2k} \left(j \left(-1 \right)^{j}\right)-2k =k-2k=\frac{-n-1}{2}}\)
A ponieważ nie jest fajnie podawać wzór ogólny z przypadkami (\(\displaystyle{ n}\) parzyste, \(\displaystyle{ n}\) nieparzyste), policzmy ogólny z wykorzystaniem \(\displaystyle{ \left(-1\right)^{n}}\).
\(\displaystyle{ \frac{\frac{n}{2}+\frac{-n-1}{2}}{2}=1\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{n}{2}-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{2n+1}{4}}\)
A zatem:
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}j \left(-1 \right)^{j}=-\frac{1}{4}+\frac{2n+1}{4}\cdot \left(-1\right)^{n}=\frac{\left(2n+1\right) \cdot \left(-1\right)^{n}-1}{4}}\)
Koniec końców:
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n} j \cdot \left(j +(-1)^{j} \right)=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)+3 \cdot \left(2n+1\right) \cdot \left(-1\right)^{n} -3}{12}=\frac{\left(2n+1\right)\left(2n^{2}+2n+ 3\left(-1\right)^{n}\right)-3}{12}}\)
Ten końcowy wynik na kilka sposobów można zapisać, tak, że trudno mi rozstrzygnąć, który bardziej elegancki.

[Zordon]

Równanie rekurencyjne:

\(\displaystyle{ A_0=0\\
A_n=A_{n-1}+n^2+(-1)^nn}\)

Szukanie sumy nie wymaga liczenia fukncji tworzącej tego ciągu. Wystarczy policzyć fukncję tworząca ciągu

\(\displaystyle{ a_0=0\\
a_n=n^2+(-1)^nn}\)

i spleść ją z funkcją \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}}\)

Nie tyle spleść funkcje, co spleść ciągi im odpowiadające, co odpowiada mnożeniu funkcji tworzących.

[yorgin]

Splot ciągów to w zasadzie ich iloczyn.

W zasadzie mówienie o splocie/iloczynie funkcji tworzącej/szeregu jest na tyle jasne, że nie wywołuje problemu z ewentualnym niedoprecyzowaniem wykonywanej czynności.

[Zordon]

W zasadzie mówienie o splocie/iloczynie funkcji tworzącej/szeregu jest na tyle jasne, że nie wywołuje problemu z ewentualnym niedoprecyzowaniem wykonywanej czynności.

Dla mnie splot dwóch funkcji, to splot, a nie iloczyn. Ale cóż, może jestem po prostu inny.