Niech \(\displaystyle{ n,k \in N _{+}}\) oraz niech \(\displaystyle{ A=\left\{ \left( a _{1},a _{2},...,a _{k} \right) \in N ^{k} : a _{1}+a _{2}+a _{3}+...+a _{k}=n\right\}}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ \sum_{a _{1},...,a _{k} \in A}^{} a _{1}a _{2} \cdot \cdot \cdot a _{k}}\)
Proszę o pomoc, nie wiem jak się do tego zabrać, czy korzystać z funkcji tworzących?
Proszę o możliwie najdokładniejsze opisanie rozwiązania
wyznaczyć sumę
-
krzeslo789
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 14 sty 2013, o 14:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: dom
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5 razy
wyznaczyć sumę
Każdemu podziałowi
\(\displaystyle{ n=a_{1}+a_{2}+...+a_{k}}\)
przypiszemy:
\(\displaystyle{ a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{k}}\) -podziałów
\(\displaystyle{ n-k=(x_{1}+y_{1})+ +(x_{k}+y_{k})}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ (x_{i}+y_{i})=a_{i}-1}\)
zauważmy że:
\(\displaystyle{ x_{i}=0,1,2,...,a_{i}-1}\)
Teraz każdemu podziałowi:
\(\displaystyle{ n-k=r_{1}+r_{2}+...+r_{2k}}\)
przyporządkujemy podział:
\(\displaystyle{ n=(r_{1}+r_{2}+1)+(r_{3}+r_{4}+1)+...+(r_{2k-1}+r_{2k}+1)=a_{1}+a_{2}+...+a_{k}}\)
To są takie podziały i przeciwobraz elementu:
\(\displaystyle{ n=a_{1}+a_{2}+...+a_{k}}\)
ma:
\(\displaystyle{ a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{k}}\) -elementów
Czyli obliczenie sum iloczynw sprowadza się do wyznaczenia wszystkich podziałów liczby:
\(\displaystyle{ n-k}\) na:
\(\displaystyle{ 2k}\)- nieujemnych składników.
A jest ona równa liczbie \(\displaystyle{ n-k}\) elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru
\(\displaystyle{ 2k}\) - elementowego. Czyli mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{}a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{k} = {n+k-1 \choose 2k-1}}\)-- 30 sty 2013, o 00:46 --Za pomocą algebry próbowałem ale za trudno chyba
\(\displaystyle{ n=a_{1}+a_{2}+...+a_{k}}\)
przypiszemy:
\(\displaystyle{ a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{k}}\) -podziałów
\(\displaystyle{ n-k=(x_{1}+y_{1})+ +(x_{k}+y_{k})}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ (x_{i}+y_{i})=a_{i}-1}\)
zauważmy że:
\(\displaystyle{ x_{i}=0,1,2,...,a_{i}-1}\)
Teraz każdemu podziałowi:
\(\displaystyle{ n-k=r_{1}+r_{2}+...+r_{2k}}\)
przyporządkujemy podział:
\(\displaystyle{ n=(r_{1}+r_{2}+1)+(r_{3}+r_{4}+1)+...+(r_{2k-1}+r_{2k}+1)=a_{1}+a_{2}+...+a_{k}}\)
To są takie podziały i przeciwobraz elementu:
\(\displaystyle{ n=a_{1}+a_{2}+...+a_{k}}\)
ma:
\(\displaystyle{ a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{k}}\) -elementów
Czyli obliczenie sum iloczynw sprowadza się do wyznaczenia wszystkich podziałów liczby:
\(\displaystyle{ n-k}\) na:
\(\displaystyle{ 2k}\)- nieujemnych składników.
A jest ona równa liczbie \(\displaystyle{ n-k}\) elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru
\(\displaystyle{ 2k}\) - elementowego. Czyli mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{}a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{k} = {n+k-1 \choose 2k-1}}\)-- 30 sty 2013, o 00:46 --Za pomocą algebry próbowałem ale za trudno chyba