Równanie rekurencyjne
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 14 sty 2013, o 14:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: dom
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5 razy
Równanie rekurencyjne
Może ktoś wie jak wyznaczyć wzór jawny z czegoś takiego:
\(\displaystyle{ a_{n+2}=a_{n}+f(n)}\)
gdzie \(\displaystyle{ f(n)}\) - dowolny jakiś ciąg.
\(\displaystyle{ a_{n+2}=a_{n}+f(n)}\)
gdzie \(\displaystyle{ f(n)}\) - dowolny jakiś ciąg.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Równanie rekurencyjne
Nie wie, gdyż metody zależą od tego, jakiej postaci jest to \(\displaystyle{ f}\).
Chociaż - w większości przypadków funkcje tworzące powinny pomóc.
Chociaż - w większości przypadków funkcje tworzące powinny pomóc.
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Równanie rekurencyjne
To równanie można rozwiązać po prostu wypisując kolejne wyrazy.
Weźmy dowolne \(\displaystyle{ a_0}\) i \(\displaystyle{ a_1}\) wyliczamy sobie \(\displaystyle{ a_2=a_0+f(2)}\) itd. wypisz sobie kilka kolejnych wyrazów i zobaczysz regułę tak do \(\displaystyle{ a_7.}\)
Mówiąc nieformalnie rozwiązanie rozpadnie się na dwa ciągi \(\displaystyle{ a_{2n}}\) i \(\displaystyle{ a_{2n+1}}\) jeden niezależny od drugiego. Mi wyszło
\(\displaystyle{ a_{2n}=a_0+f(2)+f(4)+\ldots+f(2n)}\)
\(\displaystyle{ a_{2n+1}=a_1+f(3)+f(5)+\ldots+f(2n+1)}\)
dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}.}\)
Weźmy dowolne \(\displaystyle{ a_0}\) i \(\displaystyle{ a_1}\) wyliczamy sobie \(\displaystyle{ a_2=a_0+f(2)}\) itd. wypisz sobie kilka kolejnych wyrazów i zobaczysz regułę tak do \(\displaystyle{ a_7.}\)
Mówiąc nieformalnie rozwiązanie rozpadnie się na dwa ciągi \(\displaystyle{ a_{2n}}\) i \(\displaystyle{ a_{2n+1}}\) jeden niezależny od drugiego. Mi wyszło
\(\displaystyle{ a_{2n}=a_0+f(2)+f(4)+\ldots+f(2n)}\)
\(\displaystyle{ a_{2n+1}=a_1+f(3)+f(5)+\ldots+f(2n+1)}\)
dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}.}\)
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Równanie rekurencyjne
Być może jakieś bardzo proste równania da się w ten sposób rozwiązać...fon_nojman pisze:To równanie można rozwiązać po prostu wypisując kolejne wyrazy.
Weźmy dowolne \(\displaystyle{ a_0}\) i \(\displaystyle{ a_1}\) wyliczamy sobie \(\displaystyle{ a_2=a_0+f(2)}\) itd. wypisz sobie kilka kolejnych wyrazów i zobaczysz regułę tak do \(\displaystyle{ a_7.}\)
Mówiąc nieformalnie rozwiązanie rozpadnie się na dwa ciągi \(\displaystyle{ a_{2n}}\) i \(\displaystyle{ a_{2n+1}}\) jeden niezależny od drugiego. Mi wyszło
\(\displaystyle{ a_{2n}=a_0+f(2)+f(4)+\ldots+f(2n)}\)
\(\displaystyle{ a_{2n+1}=a_1+f(3)+f(5)+\ldots+f(2n+1)}\)
dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}.}\)
A dlaczego nie do \(\displaystyle{ a_{11}}\) albo \(\displaystyle{ a_{132}}\) ?
A jak będzie w takim razie wyglądać wzór ogólny?
Podaj mi w ten sposób rozwiązanie równania
\(\displaystyle{ a_{n+2}=a_n+2^{n+1}(2n^2-2n+23)}\)
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Równanie rekurencyjne
Możesz wypisać aż do \(\displaystyle{ a_{1000}}\) tylko po co? jak widać wzór już dla małych \(\displaystyle{ n.}\)yorgin pisze:A dlaczego nie do \(\displaystyle{ a_{11}}\) albo \(\displaystyle{ a_{132}}\) ?
Przecież napisałem w poprzednim poście...yorgin pisze:A jak będzie w takim razie wyglądać wzór ogólny?
Podstaw do rozwiązania ogólnego. Ja odpowiedziałem na zadanie z pierwszego postu, tam nie było konkretnej funkcji \(\displaystyle{ f}\) tylko ogólna.yorgin pisze:Podaj mi w ten sposób rozwiązanie równania
\(\displaystyle{ a_{n+2}=a_n+2^{n+1}(2n^2-2n+23)}\)
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Równanie rekurencyjne
Chyba nie do końca się rozumiemy.
Owszem, zgadzam się, że
\(\displaystyle{ a_{2n}=a_0+\sum\limits_{k=1}^nf(2k)}\)
oraz
\(\displaystyle{ a_{2n+1}=a_1+\sum\limits_{k=1}^nf(2k+1)}\)
Problem jest natomiast innej treści.
Po pierwsze, znajdź mi wartość
\(\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^n2^{(2k)+1}(2(2k)^2-2(2k)+23)}\)
w postaci zwartej, tzn bez znaku sumy, która odpowiada sytuacji dla parzystego wskaźnika i niejednorodności podanej przeze mnie poprzednio. Zwykle gdy masz równanie rekurencyjne, to chcesz mieć wzór, w którym nie odwołujesz się do poprzednich wyrazów ani do tego, co liczyłeś dla nich. I przede wszystkim - jest to wzór w postaci zwartej. Tu jednak to robisz. Prosty przykład, łatwy do rozwiązania, to \(\displaystyle{ f(n)=n}\). Łatwo jest to zapisać nie w postaci sumy, a prostego ułamka.
Po drugie, w ogólnym przypadku nie jesteś w stanie od ręki podać wzoru ogólnego dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\), bez podziału na parzyste i nieparzyste wskaźniki. Natomiast w prostszych przypadkach to jest już możliwe, jak np
\(\displaystyle{ a_{n+2}=a_n+2, a_0=0, a_1=0}\)
Owszem, zgadzam się, że
\(\displaystyle{ a_{2n}=a_0+\sum\limits_{k=1}^nf(2k)}\)
oraz
\(\displaystyle{ a_{2n+1}=a_1+\sum\limits_{k=1}^nf(2k+1)}\)
Problem jest natomiast innej treści.
Po pierwsze, znajdź mi wartość
\(\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^n2^{(2k)+1}(2(2k)^2-2(2k)+23)}\)
w postaci zwartej, tzn bez znaku sumy, która odpowiada sytuacji dla parzystego wskaźnika i niejednorodności podanej przeze mnie poprzednio. Zwykle gdy masz równanie rekurencyjne, to chcesz mieć wzór, w którym nie odwołujesz się do poprzednich wyrazów ani do tego, co liczyłeś dla nich. I przede wszystkim - jest to wzór w postaci zwartej. Tu jednak to robisz. Prosty przykład, łatwy do rozwiązania, to \(\displaystyle{ f(n)=n}\). Łatwo jest to zapisać nie w postaci sumy, a prostego ułamka.
Po drugie, w ogólnym przypadku nie jesteś w stanie od ręki podać wzoru ogólnego dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\), bez podziału na parzyste i nieparzyste wskaźniki. Natomiast w prostszych przypadkach to jest już możliwe, jak np
\(\displaystyle{ a_{n+2}=a_n+2, a_0=0, a_1=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Równanie rekurencyjne
No ale przecież w tym zadaniu nie może być postaci zwartej - wszystko co da się zrobić, to przedstawić jak zależy szukany ciąg od \(\displaystyle{ a_0}\) i \(\displaystyle{ f(n)}\). I nic więcej niż to co zaproponował fon_nojman. A pytanie jak liczyć sumę \(\displaystyle{ f(n)}\) dla konkretnych \(\displaystyle{ f}\) to już całkiem inne zadanie (i nie zawsze wykonalne).yorgin pisze:Zwykle gdy masz równanie rekurencyjne, to chcesz mieć wzór, w którym nie odwołujesz się do poprzednich wyrazów ani do tego, co liczyłeś dla nich. I przede wszystkim - jest to wzór w postaci zwartej.
Q.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Równanie rekurencyjne
Być może po prostu nakładam zbyt duże wymagania do końcowego wyniku...
Prawdą jest, że liczenie sumy \(\displaystyle{ f(n)}\) istotnie zależy od postaci \(\displaystyle{ f}\), dlatego tak naciskam. Autor tematu chcąc wiedzieć, czy da się wyznaczyć jawny wzór, powinien uściślić "dowolny ciąg". Być może chodzi i konkretne przykłady.
Prawdą jest, że liczenie sumy \(\displaystyle{ f(n)}\) istotnie zależy od postaci \(\displaystyle{ f}\), dlatego tak naciskam. Autor tematu chcąc wiedzieć, czy da się wyznaczyć jawny wzór, powinien uściślić "dowolny ciąg". Być może chodzi i konkretne przykłady.
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 14 sty 2013, o 14:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: dom
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5 razy
Równanie rekurencyjne
Właśnie nie chodzi mi o konkretne przykłady bo w konkretnych mamy np. równanie niejednorodne i już wiem o co chodzi zastanawiało mnie czy można dla jakiegoś dowolnego ciągu \(\displaystyle{ f(n)}\)
wyznaczyć wzór ogólny dla \(\displaystyle{ a_{n}}\) akurat w tym przypadku bo jeśli obetniemy f(n) i zostawimy równanie jednorodne wyjdzie bardzo prosty wzór,
I dlatego się zastanawiałem czy nie można uogólnić do dowolnej niejednorodności.
Być może nie można nie upieram się.-- 26 sty 2013, o 12:06 --I tu Fon Nojman chyba strzelił w dziesiątkę
wyznaczyć wzór ogólny dla \(\displaystyle{ a_{n}}\) akurat w tym przypadku bo jeśli obetniemy f(n) i zostawimy równanie jednorodne wyjdzie bardzo prosty wzór,
I dlatego się zastanawiałem czy nie można uogólnić do dowolnej niejednorodności.
Być może nie można nie upieram się.-- 26 sty 2013, o 12:06 --I tu Fon Nojman chyba strzelił w dziesiątkę
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Równanie rekurencyjne
Uogólnić a i owszem można - pytanie, czy dostaniesz efektywny wzór ogólny ciągu.
Poza tym, podałeś tylko bardzo szczególny przypadek równania rekurencyjnego. Wystarczy zmienić ją na
\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+f(n)}\)
albo
\(\displaystyle{ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n+f(n)}\)
i wszystko będzie wyglądać zupełnie inaczej... W szczególności przy okropnych \(\displaystyle{ f(n)}\) wyznaczenie efektywnego wzoru może okazać się niemożliwe.
Poza tym, podałeś tylko bardzo szczególny przypadek równania rekurencyjnego. Wystarczy zmienić ją na
\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+f(n)}\)
albo
\(\displaystyle{ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n+f(n)}\)
i wszystko będzie wyglądać zupełnie inaczej... W szczególności przy okropnych \(\displaystyle{ f(n)}\) wyznaczenie efektywnego wzoru może okazać się niemożliwe.