Równanie rekurencyjne

[krzeslo789]

Może ktoś wie jak wyznaczyć wzór jawny z czegoś takiego:

\(\displaystyle{ a_{n+2}=a_{n}+f(n)}\)

gdzie \(\displaystyle{ f(n)}\) - dowolny jakiś ciąg.

[yorgin]

Nie wie, gdyż metody zależą od tego, jakiej postaci jest to \(\displaystyle{ f}\).

Chociaż - w większości przypadków funkcje tworzące powinny pomóc.

[fon_nojman]

To równanie można rozwiązać po prostu wypisując kolejne wyrazy.

Weźmy dowolne \(\displaystyle{ a_0}\) i \(\displaystyle{ a_1}\) wyliczamy sobie \(\displaystyle{ a_2=a_0+f(2)}\) itd. wypisz sobie kilka kolejnych wyrazów i zobaczysz regułę tak do \(\displaystyle{ a_7.}\)

Mówiąc nieformalnie rozwiązanie rozpadnie się na dwa ciągi \(\displaystyle{ a_{2n}}\) i \(\displaystyle{ a_{2n+1}}\) jeden niezależny od drugiego. Mi wyszło

\(\displaystyle{ a_{2n}=a_0+f(2)+f(4)+\ldots+f(2n)}\)

\(\displaystyle{ a_{2n+1}=a_1+f(3)+f(5)+\ldots+f(2n+1)}\)

dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}.}\)

[yorgin]

To równanie można rozwiązać po prostu wypisując kolejne wyrazy.

Weźmy dowolne \(\displaystyle{ a_0}\) i \(\displaystyle{ a_1}\) wyliczamy sobie \(\displaystyle{ a_2=a_0+f(2)}\) itd. wypisz sobie kilka kolejnych wyrazów i zobaczysz regułę tak do \(\displaystyle{ a_7.}\)

Mówiąc nieformalnie rozwiązanie rozpadnie się na dwa ciągi \(\displaystyle{ a_{2n}}\) i \(\displaystyle{ a_{2n+1}}\) jeden niezależny od drugiego. Mi wyszło

\(\displaystyle{ a_{2n}=a_0+f(2)+f(4)+\ldots+f(2n)}\)

\(\displaystyle{ a_{2n+1}=a_1+f(3)+f(5)+\ldots+f(2n+1)}\)

dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}.}\)

Być może jakieś bardzo proste równania da się w ten sposób rozwiązać...

A dlaczego nie do \(\displaystyle{ a_{11}}\) albo \(\displaystyle{ a_{132}}\) ?

A jak będzie w takim razie wyglądać wzór ogólny?

Podaj mi w ten sposób rozwiązanie równania

\(\displaystyle{ a_{n+2}=a_n+2^{n+1}(2n^2-2n+23)}\)

[fon_nojman]

A dlaczego nie do \(\displaystyle{ a_{11}}\) albo \(\displaystyle{ a_{132}}\) ?

Możesz wypisać aż do \(\displaystyle{ a_{1000}}\) tylko po co? jak widać wzór już dla małych \(\displaystyle{ n.}\)

A jak będzie w takim razie wyglądać wzór ogólny?

Przecież napisałem w poprzednim poście...

Podaj mi w ten sposób rozwiązanie równania

\(\displaystyle{ a_{n+2}=a_n+2^{n+1}(2n^2-2n+23)}\)

Podstaw do rozwiązania ogólnego. Ja odpowiedziałem na zadanie z pierwszego postu, tam nie było konkretnej funkcji \(\displaystyle{ f}\) tylko ogólna.

[yorgin]

Chyba nie do końca się rozumiemy.

Owszem, zgadzam się, że

\(\displaystyle{ a_{2n}=a_0+\sum\limits_{k=1}^nf(2k)}\)

oraz

\(\displaystyle{ a_{2n+1}=a_1+\sum\limits_{k=1}^nf(2k+1)}\)

Problem jest natomiast innej treści.

Po pierwsze, znajdź mi wartość

\(\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^n2^{(2k)+1}(2(2k)^2-2(2k)+23)}\)

w postaci zwartej, tzn bez znaku sumy, która odpowiada sytuacji dla parzystego wskaźnika i niejednorodności podanej przeze mnie poprzednio. Zwykle gdy masz równanie rekurencyjne, to chcesz mieć wzór, w którym nie odwołujesz się do poprzednich wyrazów ani do tego, co liczyłeś dla nich. I przede wszystkim - jest to wzór w postaci zwartej. Tu jednak to robisz. Prosty przykład, łatwy do rozwiązania, to \(\displaystyle{ f(n)=n}\). Łatwo jest to zapisać nie w postaci sumy, a prostego ułamka.

Po drugie, w ogólnym przypadku nie jesteś w stanie od ręki podać wzoru ogólnego dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\), bez podziału na parzyste i nieparzyste wskaźniki. Natomiast w prostszych przypadkach to jest już możliwe, jak np
\(\displaystyle{ a_{n+2}=a_n+2, a_0=0, a_1=0}\)

[Qń]

Zwykle gdy masz równanie rekurencyjne, to chcesz mieć wzór, w którym nie odwołujesz się do poprzednich wyrazów ani do tego, co liczyłeś dla nich. I przede wszystkim - jest to wzór w postaci zwartej.

No ale przecież w tym zadaniu nie może być postaci zwartej - wszystko co da się zrobić, to przedstawić jak zależy szukany ciąg od \(\displaystyle{ a_0}\) i \(\displaystyle{ f(n)}\). I nic więcej niż to co zaproponował fon_nojman. A pytanie jak liczyć sumę \(\displaystyle{ f(n)}\) dla konkretnych \(\displaystyle{ f}\) to już całkiem inne zadanie (i nie zawsze wykonalne).

Q.

[yorgin]

Być może po prostu nakładam zbyt duże wymagania do końcowego wyniku...

Prawdą jest, że liczenie sumy \(\displaystyle{ f(n)}\) istotnie zależy od postaci \(\displaystyle{ f}\), dlatego tak naciskam. Autor tematu chcąc wiedzieć, czy da się wyznaczyć jawny wzór, powinien uściślić "dowolny ciąg". Być może chodzi i konkretne przykłady.

[krzeslo789]

Właśnie nie chodzi mi o konkretne przykłady bo w konkretnych mamy np. równanie niejednorodne i już wiem o co chodzi zastanawiało mnie czy można dla jakiegoś dowolnego ciągu \(\displaystyle{ f(n)}\)

wyznaczyć wzór ogólny dla \(\displaystyle{ a_{n}}\) akurat w tym przypadku bo jeśli obetniemy f(n) i zostawimy równanie jednorodne wyjdzie bardzo prosty wzór,

I dlatego się zastanawiałem czy nie można uogólnić do dowolnej niejednorodności.
Być może nie można nie upieram się.-- 26 sty 2013, o 12:06 --I tu Fon Nojman chyba strzelił w dziesiątkę

[yorgin]

Uogólnić a i owszem można - pytanie, czy dostaniesz efektywny wzór ogólny ciągu.

Poza tym, podałeś tylko bardzo szczególny przypadek równania rekurencyjnego. Wystarczy zmienić ją na

\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+f(n)}\)

albo

\(\displaystyle{ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n+f(n)}\)

i wszystko będzie wyglądać zupełnie inaczej... W szczególności przy okropnych \(\displaystyle{ f(n)}\) wyznaczenie efektywnego wzoru może okazać się niemożliwe.