Fibonacci i dowód indukcyjnie.

[rNest]

Mam kłopot z poniższym zadaniem:
Udowodnij przez indukcję, że :

\(\displaystyle{ 3|F _{4k}}\) dla każdego \(\displaystyle{ K \in N _{0}}\), gdzie \(\displaystyle{ F _{(n)}}\) jest ciągiem Fibonacciego.

Z prostymi zadaniami na podzielność sobie radzę, tutaj nie potrafię.

[kristoffwp]

\(\displaystyle{ F_{4}=3 \Rightarrow 3|F_{4}}\).

Załóżmy, że dla pewnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k>1}\)
\(\displaystyle{ F_{4k}=3p, p\in\mathbb{N}}\).

\(\displaystyle{ F_{4(k+1)}=F_{4k+4}=F_{4k+3}+F_{4k+2}=F_{4k+2}+F_{4k+1}+F_{4k+1}+F_{4k}= F_{4k+1}+F_{4k}+F_{4k+1}+F_{4k+1}+F_{4k}=3(F_{4k+1}+2p)}\)

Zatem \(\displaystyle{ 3|F_{4(k+1)}}\)

Twierdzenie jest zatem prawdziwe dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\).