Niech \(\displaystyle{ a_n=2^n+(-3)^n}\).
Wyznaczyc postac funkcji tworzacej dlaciagu Sn gdzie
\(\displaystyle{ S_n= \sum_{k=0}^{n}(n-k)a_k}\)
Funkcja tworzaca an to : \(\displaystyle{ \frac{1}{1-2x} + \frac{1}{1+3x}}\)
I dalej nie wiem jak.
Nie wiem jak dziala ten splot.
splot ciagow
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
splot ciagow
Splot szeregów to po prostu ich iloczyn, tzn
\(\displaystyle{ \left(\sum\limits_{n=0}a_nx^n\right)\left(\sum\limits_{n=0}b_nx^n\right)=\left(\sum\limits_{n=0}c_nx^n\right)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ c_n=\sum\limits_{k=0}^na_nb_{n-k}}\)
To jest definicja, ale można też ją łatwo wywnioskować rozpisując trochę iloczyn szeregów.
W Twoim zadaniu chcesz znaleźć funkcję tworzącą ciągu \(\displaystyle{ S_n}\). Można ją otrzymać przez splot, tzn mamy mieć
\(\displaystyle{ \left(\sum\limits_{n=0}a_nx^n\right)\left(\sum\limits_{n=0}b_nx^n\right)=\left(\sum\limits_{n=0}S_nx^n\right)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ S_n=\sum\limits_{k=0}^n(n-k)a_k}\)
Widać z porównania postaci współczynnika \(\displaystyle{ c_n}\) podanego na początku, że \(\displaystyle{ b_{n-k}=n-k}\), czyli po prostu \(\displaystyle{ b_n=n}\). A więc
\(\displaystyle{ \left(\sum\limits_{n=0}a_nx^n\right)\left(\sum\limits_{n=0}nx^n\right)=\left(\sum\limits_{n=0}S_nx^n\right)}\)
Teraz by wyznaczyć funkcję tworzącą sumy \(\displaystyle{ S_n}\), wystarczy pomnożyć funkcję tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) oraz ciągu \(\displaystyle{ b_n}\). Czyli zostaje tylko przekształcić
\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}}\)
i pomnożyć to przez wyliczoną wcześniej funkcję dla ciągu \(\displaystyle{ a_n}\)
\(\displaystyle{ \left(\sum\limits_{n=0}a_nx^n\right)\left(\sum\limits_{n=0}b_nx^n\right)=\left(\sum\limits_{n=0}c_nx^n\right)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ c_n=\sum\limits_{k=0}^na_nb_{n-k}}\)
To jest definicja, ale można też ją łatwo wywnioskować rozpisując trochę iloczyn szeregów.
W Twoim zadaniu chcesz znaleźć funkcję tworzącą ciągu \(\displaystyle{ S_n}\). Można ją otrzymać przez splot, tzn mamy mieć
\(\displaystyle{ \left(\sum\limits_{n=0}a_nx^n\right)\left(\sum\limits_{n=0}b_nx^n\right)=\left(\sum\limits_{n=0}S_nx^n\right)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ S_n=\sum\limits_{k=0}^n(n-k)a_k}\)
Widać z porównania postaci współczynnika \(\displaystyle{ c_n}\) podanego na początku, że \(\displaystyle{ b_{n-k}=n-k}\), czyli po prostu \(\displaystyle{ b_n=n}\). A więc
\(\displaystyle{ \left(\sum\limits_{n=0}a_nx^n\right)\left(\sum\limits_{n=0}nx^n\right)=\left(\sum\limits_{n=0}S_nx^n\right)}\)
Teraz by wyznaczyć funkcję tworzącą sumy \(\displaystyle{ S_n}\), wystarczy pomnożyć funkcję tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) oraz ciągu \(\displaystyle{ b_n}\). Czyli zostaje tylko przekształcić
\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}}\)
i pomnożyć to przez wyliczoną wcześniej funkcję dla ciągu \(\displaystyle{ a_n}\)