Ciag zadany jest wzorem rekurencyjnym
\(\displaystyle{ a_n=2a_{n-1}+3a_{n-2}}\) \(\displaystyle{ a_0=2 ,a_1=3}\)
a) wyznaczyc funkcje tworzaca an
b)Dla danej liczby naturalnej n wyznaczyc wartosc sumy \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}ka_k}\)
Wyznaczylem funkcje tworzaca i wyszlo \(\displaystyle{ A(x)=\frac{ \frac{3}{4} }{x+1} + \frac{ \frac{5}{4} }{1-3x} = \frac{3}{4} \sum_{n=0}^{ \infty }(-1)^nx^n + \frac{5}{4} \sum_{n=0}^{ \infty }3^nx^n}\)
\(\displaystyle{ a_n= \frac{3}{4}(-1)^n+ \frac{5}{4} \cdot 3^n}\)
Problem mam z podpunktem b. Nie zabardzowiem jak to zrobic.
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (\frac{3}{4}(-1)^k+ \frac{5}{4} \cdot 3^k) \cdot k =\frac{3}{4} \sum_{k=0}^{n} (-1)^kk+\frac{5}{4} \sum_{k=0}^{n} k3^k}\)
Dobrze to zrobilem? Jesli tak to co dalej? Prosze o pomoc
wartosc sumy
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
wartosc sumy
Jest ok. Pierwszą sumę rozpisz wprost - bez problemu zobaczysz co wyjdzie (zależne od parzystości \(\displaystyle{ n}\). Przy liczeniu drugiej sumy - skorzystaj z pochodnej, tzn. \(\displaystyle{ \left( \sum x^k \right)' = \sum k x^{k-1}}\)