wartosc sumy

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Awatar użytkownika
Gogeta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 18 sie 2011, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 3 razy

wartosc sumy

Post autor: Gogeta »

Ciag zadany jest wzorem rekurencyjnym
\(\displaystyle{ a_n=2a_{n-1}+3a_{n-2}}\) \(\displaystyle{ a_0=2 ,a_1=3}\)
a) wyznaczyc funkcje tworzaca an
b)Dla danej liczby naturalnej n wyznaczyc wartosc sumy \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}ka_k}\)

Wyznaczylem funkcje tworzaca i wyszlo \(\displaystyle{ A(x)=\frac{ \frac{3}{4} }{x+1} + \frac{ \frac{5}{4} }{1-3x} = \frac{3}{4} \sum_{n=0}^{ \infty }(-1)^nx^n + \frac{5}{4} \sum_{n=0}^{ \infty }3^nx^n}\)
\(\displaystyle{ a_n= \frac{3}{4}(-1)^n+ \frac{5}{4} \cdot 3^n}\)

Problem mam z podpunktem b. Nie zabardzowiem jak to zrobic.
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (\frac{3}{4}(-1)^k+ \frac{5}{4} \cdot 3^k) \cdot k =\frac{3}{4} \sum_{k=0}^{n} (-1)^kk+\frac{5}{4} \sum_{k=0}^{n} k3^k}\)
Dobrze to zrobilem? Jesli tak to co dalej? Prosze o pomoc
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

wartosc sumy

Post autor: bartek118 »

Jest ok. Pierwszą sumę rozpisz wprost - bez problemu zobaczysz co wyjdzie (zależne od parzystości \(\displaystyle{ n}\). Przy liczeniu drugiej sumy - skorzystaj z pochodnej, tzn. \(\displaystyle{ \left( \sum x^k \right)' = \sum k x^{k-1}}\)
Awatar użytkownika
Gogeta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 18 sie 2011, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 3 razy

wartosc sumy

Post autor: Gogeta »

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{3}{4} }{1+x}+ \frac{ \frac{5}{4} \cdot 3x}{(1-3x)^2}}\)
tak to po zrozniczkowaniu powinno wygladac?
ODPOWIEDZ