współczynniki Gaussa

[alfa123]

Bardzo proszę o pomoc w dowodzie tych dwóch własności współczynników Gaussa:
(1) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}
d\\
i
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
d-i\\
k
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
d\\
k
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
d-k\\
i
\end{array}\right]}\)

(2) \(\displaystyle{ \left(c-1\right)\left(c-b\right)\ldots\left(c-b^{d-1}\right)=\sum_{k=0}^{d}(-1)^{d-k}b^{\binom{d-k}{2}}\left[\begin{array}{c}
d\\
k
\end{array}\right]c^{k}}\)

dla \(\displaystyle{ c,d,i,k\in\mathbb{N}
, b\in\mathbb{R}
, b\neq1}\).

[krzeslo789]

(1):

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} d\\i \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} d-i\\k \end{bmatrix}=}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} d\\k \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} d-k\\i \end{bmatrix}=}\)

lub po uproszczeniu:


\(\displaystyle{ \frac{[d]_{q!}}{[d-i]_{q!} \cdot _{q!}} \cdot \frac{[d-i]_{q!}}{[d-i-k]_{q!} \cdot [k]_{q!}} = \frac{[d]_{q!}}{[d-k]_{q!} \cdot [k]_{q!}} \cdot \frac{[d-k]_{q!}}{[d-k-i]_{q!} \cdot _{q!}}}\)

wszystko się skraca!