Postać zwarta funkcji tworzących

[nikodem92]

Witam,

W jaki sposób wyliczyć postać zwartą funkcji tworzących:

1. \(\displaystyle{ G(x) = \sum_{i=1} \frac{x^i}{i(i+1)}}\)
2. \(\displaystyle{ F(x) = \sum_{i=0} {n - 1 + i \choose i} x^i (1-p)^i}\)

Wiem, że \(\displaystyle{ \sum_{i=0} {n - 1 + i \choose i} x^i = \frac{1}{(1-z)^n}}\), jednak jak pozbyć się \(\displaystyle{ (1-p)^i}\) ?

Pozdrawiam.

[JakimPL]

Na moje oko zwarta postać tej funkcji wymaga bardziej złożonych metod analitycznych.

[nikodem92]

Ok, dzięki, w sumie w tym przypadku powinno udać się obejść bez postaci zwartej
A ta druga funkcja?

[JakimPL]

Stawiam, że nie potrzebujesz postaci zwartej w zadaniu, które wykorzystuje powyższe sumy.

[nikodem92]

Obawiam się, że potrzebuję, bo następnie policzyć pochodną. O ile w pierwszym przypadku jest OK, to w drugim chyba wyjdzie jakaś masakra - pochodna po symbolu Newtona?

Generalnie mam policzyć wartość oczekiwaną zmiennej o rozkładzie (wiem, że to nie ten dział):
\(\displaystyle{ f(m) = {n + m - 1 \choose m} p^n (1-p)^m}\), dla \(\displaystyle{ m \ge 0}\)

[JakimPL]

Pochodna po symbolu Newtona to pochodna funkcji będącej przedłużeniem analitycznym tego symbolu:

\(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial n}{n \choose k}=\frac{\partial}{\partial n}\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{\partial}{\partial n}\frac{\Gamma (n+1)}{\Gamma (k+1) \Gamma (n-k+1)}=\\
=\frac{\Gamma (n+1) \psi ^{(0)}(n+1)}{\Gamma (k+1) \Gamma (n-k+1)}-\frac{\Gamma (n+1) \psi ^{(0)}(n-k+1)}{\Gamma (k+1) \Gamma (n-k+1)}=\frac{\Gamma (n+1) (\psi ^{(0)}(n+1)-\psi ^{(0)}(n-k+1))}{\Gamma (k+1) \Gamma (n-k+1)}}\)

Ale nie wiem, czy to coś pomaga.