Witam mam zadanie:
\(\displaystyle{ b_{0}=3}\)
\(\displaystyle{ b_{n+1}=5b_{n}+4^{n}}\)
Obliczenia:
\(\displaystyle{ f(x) = 3+ \sum_{n \ge 1}^{} (5b_{n}+4^{n})x^{n+1} = 3+ \sum_{n \ge 0}^{} (5b_{n})x^{n+1} + \sum_{n \ge 0}^{} (4^{n})x^{n+1} = 3+5xf(x)+ \frac{x}{1-4x}}\)
\(\displaystyle{ f(x)(1-5x)=3+ \frac{x}{1-4x} = \frac{3}{1-5x} + \frac{x}{(1-4x)(1-5x)} = \frac{4}{1-5x} - \frac{1}{1-4x} = 4 \cdot \sum_{n \ge 0}^{} (5x)^{n} - \sum_{n \ge 0}^{} (4x)^{n} = \sum_{n \ge 0}^{} (4 \cdot 5^{n}-4^{n})}\) <--- Pominąłem wcześniej rozkład na pierwiastki ale jak coś to mogę dopisać.
Więc odpowiedź \(\displaystyle{ a_{n} = 4 \cdot 5^{n}-4^{n}}\)
Proszę o sprawdzenie.
Rownanie rekurencyjne.
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Rownanie rekurencyjne.
Obliczenia się zgadzają, ale mam sporo uwag do zapisu.
\(\displaystyle{ f(x) = 3+ \sum_{n \ge 1}^{} (5b_{n}+4^{n})x^{n} = 3+ \sum_{n \ge 0}^{} (5b_{n})x^{n+1} + \sum_{n \ge 0}^{} (4^{n})x^{n+1} = 3+5xf(x)+ \frac{x}{1-4x}}\)
Dalej:
Winno być:\(\displaystyle{ f(x) = 3+ \sum_{n \ge 1}^{} (5b_{n}+4^{n})x^{n+1} = 3+ \sum_{n \ge 0}^{} (5b_{n})x^{n+1} + \sum_{n \ge 0}^{} (4^{n})x^{n+1} = 3+5xf(x)+ \frac{x}{1-4x}}\)
\(\displaystyle{ f(x) = 3+ \sum_{n \ge 1}^{} (5b_{n}+4^{n})x^{n} = 3+ \sum_{n \ge 0}^{} (5b_{n})x^{n+1} + \sum_{n \ge 0}^{} (4^{n})x^{n+1} = 3+5xf(x)+ \frac{x}{1-4x}}\)
Dalej:
Dobrze by było zapisać od razu, że \(\displaystyle{ f(x)=\ldots}\), oraz na końcu przy szeregach brakuje \(\displaystyle{ x^n}\).\(\displaystyle{ f(x)(1-5x)=3+ \frac{x}{1-4x} = \frac{3}{1-5x} + \frac{x}{(1-4x)(1-5x)} = \frac{4}{1-5x} - \frac{1}{1-4x} = 4 \cdot \sum_{n \ge 0}^{} (5x)^{n} - \sum_{n \ge 0}^{} (4x)^{n} = \sum_{n \ge 0}^{} (4 \cdot 5^{n}-4^{n})}\)