Pięciocyfrowe liczby. Dwie parzyste i trzy nieparzyste.

[Matematyk13]

Witam, mam problem z zadankiem:

Oblicz, ile jest liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach, w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry parzyste i trzy nieparzyste.

Nie wiem jak ugryźć to zadanie, próbowałem sobie to jakoś rysować, podstawiać, ale kosmiczne liczby potem wychodziły.

Proszę o pomoc.

[Ponewor]

Ile jest układów parzystości?

[mlody3k]

Ja bym podzielił na dwa przypadki. Po pierwsze parzysta na początku, po drugie nieparzysta na początku. Więc:

Dla parzystej na początku.
Parzystych jest 5: 0,2,4,6,8. Na początku jednak nie może być 0, gdyż przestaje to być liczba pięciocyfrowa. Zatem 4 opcje dla pierwszej cyfry.
Kolejne cztery cyfry to trzy cyfry nieparzyste i jedna parzysta. Jest to dokładnie \(\displaystyle{ {5\choose 3} \cdot 4\cdot 4!}\). Dlaczego? Najpierw wybieramy 3 cyfry nieparzyste z 5, mnożymy razy 4 opcje wyboru parzystej (nie 5, gdyż na początku już jest jedna parzysta) i mnożymy razy 4! gdyż możemy je rozmieścić dowolnie na 4 miejscach. Zatem łącznie, wszystkich liczb pięciocyfrowych z dwiema cyframi parzystymi i trzema nieparzystymi, z parzystą na początku jest \(\displaystyle{ 4\cdot{5 \choose 3}\cdot 4\cdot 4!=3840}\)

Dla nieparzystej na początku
Analogicznie. Nieparzystych jest 5: 1,3,5,7,9. Wybieramy początkową, jest 5 opcji. Następnie wybieramy 2 parzyste, 2 nieparzyste (z 4, bo jedna jest na początku) i rozkładamy je dowolnie. Zatem wszystkich jest \(\displaystyle{ 5\cdot{4\choose 2}\cdot{5\choose 2}\cdot 4!=7200}\)

Łącznie wszystkich jest \(\displaystyle{ 3840+7200=11040}\).

[Matematyk13]

Chodzi o to że liczba parzysta pojawia się na pierwszym miejscu? To może tak: \(\displaystyle{ {4 \choose 1}}\) - bo na pierwszym miejscu nie może być 0, \(\displaystyle{ {4 \choose 1}}\) - a tu że jedna liczba była już zabrana (bo mamy słowo różnych w poleceniu) \(\displaystyle{ {5 \choose 3}}\)-reszta nieparzyste
I tak samo zrobić z nieparzystymi?

-- 1 sty 2013, o 18:39 --

No ok tylko że w odpowiedziach jest 5040.Ale mogą zawierać błędy. Zaraz podam jak tam jest napisane całe rozwiązanie.

-- 1 sty 2013, o 18:53 --

Też jest napisane że z parzystą na miejscu pierwszym: \(\displaystyle{ {4 \choose 1}}\) \(\displaystyle{ {4 \choose 1}}\) \(\displaystyle{ \cdot}\) 4 \(\displaystyle{ \cdot}\) \(\displaystyle{ {5 \choose 3}}\) \(\displaystyle{ \cdot}\)3!.
Teraz nieparzysta na pierwszym:5\(\displaystyle{ \cdot}\)\(\displaystyle{ {4 \choose 2}}\)2!\(\displaystyle{ \cdot}\)\(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\)2!
Potem jest zsumowanie i wychodzi właśnie 5040.

[mlody3k]

Z parzystą na miejscu pierwszym wynik jest taki sam jak u mnie: \(\displaystyle{ 3840}\). Autor po prostu znalazł wynik w inny sposób. Nie tak jak ja: pierwsza cyfra , kolejne cztery, przemieszanie, tylko: pierwsza cyfra parzysta (4 nad 1), druga cyfra parzysta (4 nad 1), miejsce dla drugiej parzystej (4), trzy nieparzyste (5 nad 3) i przemieszanie samych nieparzystych (3!).

W kwestii nieparzystej na pierwszym miejscu uważam, że jest błąd w odpowiedzi. 5 dla pierwszej cyfry, faktycznie \(\displaystyle{ {4 \choose 2}}\) dla znalezienia 2 pozostałych nieparzystych i \(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\), ale autor miesza oba wybory osobno (2! i 2!) nie biorąc pod uwagę faktu, że jest jeszcze 6 sposobów przemieszania tych par liczb między sobą (polecam sobie rozrysować). Po pomnożeniu przez 6 wynik się zgadza z moim.-- 1 sty 2013, o 19:21 --Spójrz:

PPNN
PNPN
PNNP

NNPP
NPNP
NPPN

innej opcji nie ma. Autor uwzględnił zamianę miejsc parzystej z parzystą, nieparzystej z nieparzystą, a nie uwzględnił powyższego przemieszania.

[Matematyk13]

Dzięki,że pomogłeś, nareszcie rozumiem, nietylko to zadanie ale i troche kombinatoryke.

[arek1357]

Można bez wzorów na kombinacje:

n - nieparzysta p- parzysta

załóżmy że na pierwszym miejscu jest nieparzysta to są takie możliwości:

nnnpp, nnppn, nnpnp, npnnp, npnpn, nppnn 6 możliwości \(\displaystyle{ 5*4*3*5*4*6=1200*6=7200}\)

a teraz że na pierwszym miejscu jest parzysta:

ppnnn, pnpnn, pnnpn, pnnnp 4 możliwości \(\displaystyle{ 6*4*5*3*4=960*4=3840}\)

Razem=11040