Funkcja Eulera.

angela1992 · Post autor: **angela1992** » 30 gru 2012, o 22:55

Witam serdecznie

Zadanie: Oblicz \(\displaystyle{ \phi(n) = 39}\) , \(\displaystyle{ \phi(n) = 1000}\) , \(\displaystyle{ \phi(n) = 41}\)

Co udało mi się już zrobić:

\(\displaystyle{ \phi(n) = 100 \cdot 10 = (101-1)(11-1) = 101 \cdot 11=1111}\)

\(\displaystyle{ \phi(n) = 39}\) tutaj myślę, że znalezienie takiego \(\displaystyle{ n}\) nie jest możliwe ponieważ możemy to zapisać na \(\displaystyle{ 2}\) różne kombinacje a mianowicie \(\displaystyle{ 3 \cdot 13 = (4-1)(14-1) = 64}\) a \(\displaystyle{ \phi (64) = 32}\) zatem \(\displaystyle{ \neq}\) lub \(\displaystyle{ 39 \cdot 1 = (40-1)(2-1) = 80}\) a \(\displaystyle{ \phi(80) = 32}\) zatem analogicznie jak w pierwszym przypadku występuje \(\displaystyle{ \neq}\)

Natomiast \(\displaystyle{ \phi(n)=41}\) nie wiedziałam jak ruszyć.

Napisałam tak jak umiałam ...bardzo proszę o sprawdzenie i poprawę ewentualną.

Pancernik · Post autor: **Pancernik** » 31 gru 2012, o 00:24

W tej metodzie

angela1992 pisze:\(\displaystyle{ \phi(n) = 100 \cdot 10 = (101-1)(11-1) = 101 \cdot 11=1111}\)

miało być zapisane tak:
\(\displaystyle{ \phi(n) = 100 \cdot 10 = (101-1)(11-1) = \phi(101) \cdot \phi(11)=\phi(1111)}\)

Ale chodzi mi teraz o ten moment: \(\displaystyle{ \phi(101) \cdot \phi(11)}\)
Tutaj powstały liczby pierwsze.
A w pozostałych przypadkach już tak nie miałaś.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 31 gru 2012, o 01:41

\(\displaystyle{ \phi(n)=41}\)

Nie słyszałem jeszcze o takiej liczbie n , która po działaniu na nią funkcji eulera da w wyniku liczbę pierwszą
z wyjątkiem może dwójki-- 31 grudnia 2012, 01:46 --Znalezienie wartości nieparzystej graniczy z cudem pomijając jedynkę.

angela1992 · Post autor: **angela1992** » 31 gru 2012, o 02:43

Czyli dobrze myślałam, że te przykłady nie są wykonalne za wyjątkiem oczywiście \(\displaystyle{ \phi(n)=1000}\) bo tu już wykazałam, że \(\displaystyle{ n=1111}\)?

Pancernik · Post autor: **Pancernik** » 31 gru 2012, o 15:42

Mało tego \(\displaystyle{ \phi(n)=p}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) to liczby parzyste i wyjątek stanowi \(\displaystyle{ 1}\).

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 31 gru 2012, o 16:43

Dokładnie

angela1992 · Post autor: **angela1992** » 31 gru 2012, o 17:03

I to są konkretne odpowiedzi dziękuję

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 31 gru 2012, o 19:48

A co z \(\displaystyle{ 1255=5\cdot 251 \Rightarrow \varphi(1255) = 4\cdot 250 =1000}\) i podobnie inne wyniki dla różnych rozkładów \(\displaystyle{ 1000}\)?

Pancernik · Post autor: **Pancernik** » 1 sty 2013, o 13:15

JakimPL pisze:A co z \(\displaystyle{ 1255=5\cdot 251 \Rightarrow \varphi(1255) = 4\cdot 250 =1000}\) i podobnie inne wyniki dla różnych rozkładów \(\displaystyle{ 1000}\)?

Ale o co dokładnie chcesz zapytać?

\(\displaystyle{ 1000}\) jest parzyste, to prawdopodobnie istnieje takie \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ \varphi(n)=1000}\).
Napisałem prawdopodobnie, bo nie dla wszystkich liczb parzystych istnieje takie \(\displaystyle{ n}\).

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 1 sty 2013, o 13:41

Chodzi o to, że \(\displaystyle{ n=1111}\) nie jest jedynym rozwiązaniem.

Pancernik · Post autor: **Pancernik** » 1 sty 2013, o 14:09

To są wszystkie:
\(\displaystyle{ \varphi \left(1111\right)=1000\\ \varphi \left(1255\right)=1000\\ \varphi \left(1375\right)=1000\\ \varphi \left(1875\right)=1000\\ \varphi \left(2008\right)=1000\\ \varphi \left(2222\right)=1000\\ \varphi \left(2500\right)=1000\\ \varphi \left(2510\right)=1000\\ \varphi \left(2750\right)=1000\\ \varphi \left(3012\right)=1000\\ \varphi \left(3750\right)=1000}\)