funkcja tworząca z podłogi

[JakubCh]

jak zrobić funkcję tworzącą z \(\displaystyle{ a _{n} = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\)? Proszę o pomoc.

[arek1357]

\(\displaystyle{ 1t^{2}+1t^{3}+2t^{4}+2t^{5}+3t^{6}+3t^{7}+....=t^{2}(1+t)+2t^{4}(1+t)+...=(1+t)(t^{2}+2t^{4}+3t^{6}+...) =t^{2}(1+t)(1+2t^{2}+3t^{3}+...)}\)

itd...

I tak tu nic odkrywczego się nie wymyśli

[JakubCh]

ok dzięki

[Zordon]

Można rozbić sobie na parzyste i nieparzyste i zwinąć w ładne wzorki.

edit: a w sumie wyżej to zostało mniej więcej zrobione, ale nie doszło do postaci ładnego wzorku

[ksisquare]

a taki:
\(\displaystyle{ \frac{t^2}{t^3
- t^2
- t
+ 1}}\)

jest ładny?

t^2/(t^3 - t^2 - t + 1)

[arek1357]

Może nie ładny (moje koncepcje piękna są ciut inne) ale jest zwarty, precyzyjny, skompresowany.

[lokas]

\(\displaystyle{ 1t^{2}+1t^{3}+2t^{4}+2t^{5}+3t^{6}+3t^{7}+....=t^{2}(1+t)+2t^{4}(1+t)+...=(1+t)(t^{2}+2t^{4}+3t^{6}+...) =t^{2}(1+t)(1+2t^{2}+3t^{3}+...)}\)

itd...

I tak tu nic odkrywczego się nie wymyśli

Można jeszcze obliczyć ładnie ostatni nawias

\(\displaystyle{ 1+2t^{2}+3t^{3}+...=1-t+t+2t^{2}+3t^{3}+...=1-t+t(1+2t+3t ^{2}+..)=1-t+t(t ^{2}+t ^{3} +...) ^{'} =1-t+t\left( \sum_{k=1}^{ \infty } t ^{k} \right) ^{'} =1-t+t\left( \frac{t}{1-t}\right) ^{'} =1-t+ \frac{t}{(1-t) ^{2} }= \frac{-t ^{3}+3t ^{2}-2t+1 }{(1-t) ^{2} }}\)


Łącznie to by było

\(\displaystyle{ A(t)= \frac{t ^{5}-t ^{4}-2t ^{3} +3t ^{2} -2t+1 }{(1-t) ^{2} }}\)

[ksisquare]

[...]
Łącznie to by było

\(\displaystyle{ A(t)= \frac{t ^{5}-t ^{4}-2t ^{3} +3t ^{2} -2t+1 }{(1-t) ^{2} }}\)

Co rozwija się w: \(\displaystyle{ 1
+ 2 t^2
+ t^3
- t^4
- 2 t^5
- 3 t^6
- 4 t^7
- 5 t^8
- 6 t^9
+\dots}\)

[arek1357]

Cosik się źle rozwija

[JakubCh]

wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{\left( 1+x\right)x ^{2} }{\left( 1-x ^{2} \right) ^{2} }}\) . Czy wie ktoś jak można to rozwinąć, żeby sprawdzić czy jest ok ?

[ksisquare]

[JakubCh]

Dzięki.

Do \(\displaystyle{ x^{7}}\) jest ok, a potem pisze jakieś O(\(\displaystyle{ x ^{8}}\)). Co to oznacza?

[Zordon]

zobacz ... po_wzrostu "Notacja duże O"

[JakubCh]

dziękuję

[Mariusz M]

I tak tu nic odkrywczego się nie wymyśli

Tutaj można wymyślić równanie rekurencyjne

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0}=0 \\ a_{1}=0\\a_{n}=a_{n-2}+1 \end{cases}}\)

i rozwiązać je za pomocą funkcji tworzącej

\(\displaystyle{ A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^n}= \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^n}+ \sum_{n=2}^{ \infty }{x^n} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^n}=x^2\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n-2}}+\frac{x^2}{1-x}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^n}=x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}+\frac{x^2}{1-x}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}=x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}+\frac{x^2}{1-x}\\
A\left( x\right)=x^2A\left( x\right)+ \frac{x^2}{1-x}\\
A\left( x\right)\left( 1-x^2\right)= \frac{x^2}{1-x}\\
A\left( x\right)=\frac{x^2}{\left( 1-x^2\right)\left( 1-x\right) } \\
A\left( x\right)=\frac{x^2}{\left( 1+x\right)\left( 1-x\right)^2 }}\)