funkcja tworząca z ułamka

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
JakubCh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 613
Rejestracja: 18 gru 2011, o 11:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów/Kraków
Podziękował: 265 razy
Pomógł: 5 razy

funkcja tworząca z ułamka

Post autor: JakubCh »

Czy dla \(\displaystyle{ a _{n} = \frac{1}{n+2}}\) funkcja tworząca równa jest: \(\displaystyle{ f= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{n+2} t^{n} = \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n}t ^{n-2} = \frac{1}{t ^{2} } \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{n} t ^{n} -t = \frac{1}{t ^{2} } \cdot ln \left( \frac{1}{1-t} \right) -t}\)?

Dzięki
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

funkcja tworząca z ułamka

Post autor: Zordon »

To przejście wygląda na złe:
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n}t ^{n-2} = \frac{1}{t ^{2} } \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{n} t ^{n} -t}\)
Czemu nie robić sobie krok po kroku powoli:
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n}t ^{n-2} = \frac{1}{t^2} \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n}t ^{n}= \frac{1}{t^2} (\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n}t ^{n}-t)=...}\)
JakubCh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 613
Rejestracja: 18 gru 2011, o 11:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów/Kraków
Podziękował: 265 razy
Pomógł: 5 razy

funkcja tworząca z ułamka

Post autor: JakubCh »

ojj no tak dzięki -- 29 gru 2012, o 17:48 --jeśli dla n=0 to nie ma sensu to jak zmienie sumę na od 0, to nie muszę nic dodawać ani odejmować?
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

funkcja tworząca z ułamka

Post autor: Zordon »

Jak nie ma sensu to nie możesz sumować od 0.
JakubCh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 613
Rejestracja: 18 gru 2011, o 11:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów/Kraków
Podziękował: 265 razy
Pomógł: 5 razy

funkcja tworząca z ułamka

Post autor: JakubCh »

a mogę szereg, gdzie n jest od 1 do nieskończoności zwinąć ze wzoru, który był podany dla sumy od zera?
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

funkcja tworząca z ułamka

Post autor: Zordon »

podaj ten wzór, I najlepiej powiedz z jakiej książki korzystasz. W matematyce zazwyczaj nie pisze się wyrażeń które nie mają sensu, chyba że autor wyraźnie określa jak będzie rozumiał napis w którym pojawia się dzielenie przez zero.
JakubCh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 613
Rejestracja: 18 gru 2011, o 11:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów/Kraków
Podziękował: 265 razy
Pomógł: 5 razy

funkcja tworząca z ułamka

Post autor: JakubCh »

Wzór :
\(\displaystyle{ 0 + 1x + \frac{1}{2}x ^{2} + \frac{1}{3}x ^{3} + \frac{1}{4}x ^{4} +... = ln\left( \frac{1}{1-x} \right)}\) znalazłem w internecie. Chciałem z niego skorzystać, tylko nie wiem co z tym zerem na początku.
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

funkcja tworząca z ułamka

Post autor: Zordon »

Ten wzór nie dotyczy szeregów formalnych, a funkcji analitycznych. Konkretnie, to szereg po lewej, który można też zapisać jako \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n}x^n}\) (nie wiem czemu to zero sprawa Ci tak ogromny problem) zadaje w przedziale \(\displaystyle{ (-1,1)}\) funkcję analityczną daną wzorem \(\displaystyle{ \ln\left( \frac{1}{1-x} \right)}\).
Zatem przechodząc od szeregów formalnych do funkcji analitycznych, można napisać taką równość przy pewnych założeniach na x.
JakubCh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 613
Rejestracja: 18 gru 2011, o 11:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów/Kraków
Podziękował: 265 razy
Pomógł: 5 razy

funkcja tworząca z ułamka

Post autor: JakubCh »

Ok, czyli w tego typu zadaniach z funkcji tworzących zawsze muszę przyjmować założenia na \(\displaystyle{ x}\)?
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

funkcja tworząca z ułamka

Post autor: Zordon »

W przypadku, gdy pojawiają się logarytmy itp. i ma to mieć jakikolwiek sens to tak.
JakubCh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 613
Rejestracja: 18 gru 2011, o 11:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów/Kraków
Podziękował: 265 razy
Pomógł: 5 razy

funkcja tworząca z ułamka

Post autor: JakubCh »

ok rzeczywiście dzięki za pomoc
ODPOWIEDZ