przekształcenie fcji tworzącej

[JakubCh]

czy mając funkcję tworzącą
\(\displaystyle{ f= \sum_{n=0}^{ \infty }n2 ^{n}t ^{n}}\) mogę ją zapisać jako \(\displaystyle{ \frac{t}{\left( 1-2t\right) ^{2} }}\)?

[arek1357]

\(\displaystyle{ \frac{t}{(1-2t)^2}=t* \frac{1}{(1-2t)^2}=t*(1-2t)^{-2}=t \sum_{i=0}^{ \infty }{-2\choose i}(-2t)^i=t* \sum_{i=0}^{ \infty }(-1)^{i}(i+1) \cdot(-1)^{i} \cdot (2)^{i} \cdot (t)^{i}=t* \sum_{i=0}^{ \infty }(i+1) \cdot (2)^{i} \cdot (t)^{i}=t \sum_{i=1}^{ \infty }i \cdot 2^{i-1}t^{i-1}= \sum_{i=1}^{ \infty }i \cdot 2^{i-1}t^{i}= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{ \infty }i \cdot 2^{i}t^{i}}\)

Chyba że się gdzieś walnąłem do sprawdzenia...

\(\displaystyle{ {-2\choose i}=(-1)^{i} \frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot (i+1)}{i!}=(-1)^{i}(i+1)}\)

i tak dalej...

[JakubCh]

ok, nie potrafię rozpisać \(\displaystyle{ f= \sum_{n=0}^{ \infty }n2 ^{n} t ^{n}}\). Teraz wiem, że zgadywanie nie był dobrym pomysłem, ale dalej nie potrafię tego rozpisać

[Zordon]

niech
\(\displaystyle{ F(x)=\frac{1}{1-x}= \sum_{k=0}^{\infty}x^n}\)

zauważ, że \(\displaystyle{ f(t)=2tF'(2t)}\)
Czyli trzeba zróżniczkować F.

[ksisquare]

\(\displaystyle{ \frac{2t}{4t^2 - 4t + 1}=}\)

2*t/(4*t^2 - 4*t + 1) \(\displaystyle{ =}\) myślę, że takie [ icode ] ułatwiałoby wrzucenie formuły do jakiegoś ulubionego programu

\(\displaystyle{ 2 t
+ 8 t^2
+ 24 t^3
+ 64 t^4
+ 160 t^5
+ 384 t^6
+ 896 t^7
+ 2048 t^8
+ 4608 t^9
+ 10240 t^{10}
+ 22528 t^{11}
+ 49152 t^{12}
+ 106496 t^{13}
+ 229376 t^{14}
+ 491520 t^{15}+\dots}\)