Funkcja Riemanna.

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
angela1992
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 28 gru 2012, o 13:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: tu i tam
Podziękował: 2 razy

Funkcja Riemanna.

Post autor: angela1992 »

Witam jest to mój pierwszy post:

Zadanie: Mam pokazać, że \(\displaystyle{ \zeta \left( 2 \right) < 2}\).

Co udało się zrobić:

\(\displaystyle{ \zeta \left( z \right) = \sum_{n=1 }^{ \infty } \frac{1}{n^{z}} =1+ \left( \frac{1}{2^2} \right) + \left( \frac{1}{3^2} \right) +... = ?}\)

Właśnie nie umiem pokazać czemu to się równa Bardzo proszę o pomoc
Znalazłam jedynie, że wynik powinien być taki: \(\displaystyle{ \frac{ \pi^2}{6}}\)
Ostatnio zmieniony 28 gru 2012, o 14:33 przez pyzol, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

Funkcja Riemanna.

Post autor: luka52 »

Niech: \(\displaystyle{ S_N = \sum_{n = 1}^N \frac{1}{n^2}}\). Można pokazać, że: \(\displaystyle{ S_N < 2 - \frac{1}{N}, N > 1}\), np. indukcyjnie (tylko najistotniejsza część):
\(\displaystyle{ S_{N+1} = S_N + \frac{1}{(N+1)^2} < 2 - \frac{1}{N} + \frac{1}{(N+1)^2} < 2 - \frac{1}{N+1}}\)
Ostatnia nierówność jest prawdziwa, gdyż:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(N+1)^2} < \frac{1}{N} - \frac{1}{N+1} = \frac{1}{N(N+1)}}\)
co jest już dość oczywiste.
ODPOWIEDZ