Maksymalna moc rodziny zbiorów

[patry93]

Cześć.

Zad 1. (łatwiejsze, polecam na rozgrzewkę)
Dane są zbiory \(\displaystyle{ A_1, A_2, \ldots , A_n}\). Niech \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) będzie najmniejszą rodziną zbiorów o własnościach:
1) \(\displaystyle{ A_i \in \mathcal{R}}\) dla \(\displaystyle{ i = 1, 2, \ldots , n}\)
2) jeśli \(\displaystyle{ X, Y \in \mathcal{R}}\), to \(\displaystyle{ X \cup Y \in \mathcal{R} \ i \ X \setminus Y \in \mathcal{R}}\)
Wyznaczyć maksymalną moc rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) i podać przykład zbiorów \(\displaystyle{ A_1, A_2, \ldots , A_n}\) dla których jest ona przyjmowana.

Zad 2.
Dane są zbiory \(\displaystyle{ A_1, A_2, \ldots , A_n}\). Niech \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) będzie najmniejszą rodziną zbiorów o własnościach:
1) \(\displaystyle{ A_i \in \mathcal{R}}\) dla \(\displaystyle{ i = 1, 2, \ldots , n}\)
2) jeśli \(\displaystyle{ X, Y \in \mathcal{R}}\), to \(\displaystyle{ X \cup Y \in \mathcal{R} \ i \ X \cap Y \in \mathcal{R}}\)
Wyznaczyć maksymalną moc rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) i podać przykład zbiorów \(\displaystyle{ A_1, A_2, \ldots , A_n}\) dla których jest ona przyjmowana.
Nie znam rozwiązania zad. nr 2, ale dysponuję wskazówką, może kogoś naprowadzi:

Hint:    

Zapis binarny liczb

[arek1357]

Maxymalna moc rodziny R dla przykładu jeden powinna być gdy R pokryje się z rodziną wszystkich
podzbiorów zbioru:

\(\displaystyle{ A_{1} \cup A_{2} \cup ... \cup A_{n}}\)

To jest sigma ciało

[patry93]

Nie rozumiem - twierdzisz, że jest to sigma ciało, czy to już "z góry" wiadomo i sugerujesz posłużenie się jakimiś własnościami sigma ciał?
Swoją drogą, to powinno się dać zrobić bez korzystania z takich trudnych pojęć (chyba...)

[arek1357]

Wnosze to na chlopski rozum z definicji sigma ciala

[Zordon]

Mamy skończone rodziny więc sigma-ciało automatycznie staje się ciałem, to nie jest trudne pojęcie. Natomiast oprócz wprowadzenia trudnego słówka zadanie wcale nie posunęło się do przodu.

[arek1357]

Każde sigma ciało, które nie jest skończone jest nieprzeliczalne.
ale w tym przypadku gdy zbiorów jest skończona ilość sigma ciało jest skończone.

Są to różnice symetryczne zbiorów \(\displaystyle{ A_{i}}\).