czytam na temat funkcji tworzących, ale nie rozumiem, gdy autorzy piszą, że przyjmijmy: \(\displaystyle{ x^{n} G\left( x\right)=g _{n}}\), czyli że to oznaczenie mówi nam, jaki jest współczynnik przy \(\displaystyle{ x}\) w \(\displaystyle{ n}\)-tej potędze, tego, że później jest napisane:
obserwacja:
\(\displaystyle{ x ^{m}G\left( x\right) = 0 + ... + 0x ^{m-1} + g _{0} x ^{m} + g _{1} x ^{m+1} + g _{2} x ^{m+2} +...}\)
mój problem polega na tym, że nie rozumiem tej obserwacji. Czy mógłby mi ktoś ją wytłumaczyć? Byłbym bardzo wdzięczny -- 26 gru 2012, o 23:08 --błagam, nie mówcie że w tym drugim mieli na myśli razy a ja jestem na tyle ślepy, że nie zauważyłem (mogliby chociaż dać znaczek * )
niepewność co do obserwacji
-
Jacek_Karwatka
- Użytkownik
- Posty: 351
- Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 94 razy
niepewność co do obserwacji
Generalnie idea funkcji tworzącej polega na obserwacji ze jeśli dany ciąg potraktujemy jako ciąg współczynników w szeregu potęgowym i szereg ten jest zbieżny to można go utożsamiając z funkcja analityczną której jest rozminięciem. Operacje na funkcjach są często dużo prostsze niż operacje na szeregach nieskończonych. Najprostszy przykład to ciąg o stałych współczynnikach i odpowiadający mu szereg geometryczny.
ciąg
\(\displaystyle{ c _{0}=1, c _{1}=1, c _{2}=1, c _{3}=1, c _{4}=1, c _{5}=1 .... c _{n}=1, ....}\)
odpowiadający mu szereg potęgowy to szereg geometryczny:
\(\displaystyle{ 1 \cdot x ^{0}+1 \cdot x ^{1}+1 \cdot x ^{2}+1 \cdot x ^{3}+...= \sum_{}^{} 1 \cdot x ^{n}}\)
dla \(\displaystyle{ \left| x\right|<1.0}\) szereg ten jest zbieżny i zwija się do funkcji:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} 1 \cdot x ^{n} = \frac{1}{1-x}}\)
funkcja tworząca nasz ciąg to : \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{1-x}}\)
Załóżmy ze zmieniamy nasz pierwotny ciąg nieznacznie przesuwając jego elementy o jeden w prawo:
\(\displaystyle{ d _{0}=0, d _{1}=c _{0}=1, d _{2}=c _{1}=1, d _{3}=c _{2}=1, d _{4}=c _{3}=1, c _{5}=c _{4}=1 .... d_{n+1}=c _{n}=1, ....}\)
odpowiadający mu szereg potęgowy to szereg geometryczny:
\(\displaystyle{ 0+1 \cdot x ^{1}+1 \cdot x ^{2}+1 \cdot x ^{3}+...= \sum_{}^{} 1 \cdot x ^{n}}\)
ten szereg jest również zbieżny. X można wyciągnąć przed nawias i mamy funkcje tworzacą:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} 1 \cdot x ^{n+1}=x \sum_{}^{} 1 \cdot x ^{n}=x \frac{1}{1-x}=xf(x)}\)
mamy więc nowa funkcje tworząca bardzo podobną do poprzedniej. Jedyna różnica to pomnożenie jej przez x. Po jej rozwinięciu w szereg potęgowy jej wyrazy będą przesunięte o jeden w stosunku do pierwotnego szeregu. Tak jest zawsze o ile szeregi są oba szeregi są zbieżne. Jeśli funkcja \(\displaystyle{ G(x)}\)rozwija się w szereg
\(\displaystyle{ G\left( x\right) = g _{0} x ^{0} + g _{1} x ^{1} + g _{2} x ^{2} +...}\)
to funkcja \(\displaystyle{ x ^{m}G(x)}\) rozwija się w szereg
\(\displaystyle{ x ^{m}G\left( x\right) =x ^{m}\left( g _{0} x ^{0} + g _{1} x ^{1} + g _{2} x ^{2} +...\right) = g _{0} x ^{m} + g _{1} x ^{m+1} + g _{2} x ^{m+2} +...=
0 + ... + 0x ^{m-1} + g _{0} x ^{m} + g _{1} x ^{m+1} + g _{2} x ^{m+2} +...}\)
Odpowiadający jej szereg jest przesunięty o m wyrazów w prawo
ciąg
\(\displaystyle{ c _{0}=1, c _{1}=1, c _{2}=1, c _{3}=1, c _{4}=1, c _{5}=1 .... c _{n}=1, ....}\)
odpowiadający mu szereg potęgowy to szereg geometryczny:
\(\displaystyle{ 1 \cdot x ^{0}+1 \cdot x ^{1}+1 \cdot x ^{2}+1 \cdot x ^{3}+...= \sum_{}^{} 1 \cdot x ^{n}}\)
dla \(\displaystyle{ \left| x\right|<1.0}\) szereg ten jest zbieżny i zwija się do funkcji:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} 1 \cdot x ^{n} = \frac{1}{1-x}}\)
funkcja tworząca nasz ciąg to : \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{1-x}}\)
Załóżmy ze zmieniamy nasz pierwotny ciąg nieznacznie przesuwając jego elementy o jeden w prawo:
\(\displaystyle{ d _{0}=0, d _{1}=c _{0}=1, d _{2}=c _{1}=1, d _{3}=c _{2}=1, d _{4}=c _{3}=1, c _{5}=c _{4}=1 .... d_{n+1}=c _{n}=1, ....}\)
odpowiadający mu szereg potęgowy to szereg geometryczny:
\(\displaystyle{ 0+1 \cdot x ^{1}+1 \cdot x ^{2}+1 \cdot x ^{3}+...= \sum_{}^{} 1 \cdot x ^{n}}\)
ten szereg jest również zbieżny. X można wyciągnąć przed nawias i mamy funkcje tworzacą:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} 1 \cdot x ^{n+1}=x \sum_{}^{} 1 \cdot x ^{n}=x \frac{1}{1-x}=xf(x)}\)
mamy więc nowa funkcje tworząca bardzo podobną do poprzedniej. Jedyna różnica to pomnożenie jej przez x. Po jej rozwinięciu w szereg potęgowy jej wyrazy będą przesunięte o jeden w stosunku do pierwotnego szeregu. Tak jest zawsze o ile szeregi są oba szeregi są zbieżne. Jeśli funkcja \(\displaystyle{ G(x)}\)rozwija się w szereg
\(\displaystyle{ G\left( x\right) = g _{0} x ^{0} + g _{1} x ^{1} + g _{2} x ^{2} +...}\)
to funkcja \(\displaystyle{ x ^{m}G(x)}\) rozwija się w szereg
\(\displaystyle{ x ^{m}G\left( x\right) =x ^{m}\left( g _{0} x ^{0} + g _{1} x ^{1} + g _{2} x ^{2} +...\right) = g _{0} x ^{m} + g _{1} x ^{m+1} + g _{2} x ^{m+2} +...=
0 + ... + 0x ^{m-1} + g _{0} x ^{m} + g _{1} x ^{m+1} + g _{2} x ^{m+2} +...}\)
Odpowiadający jej szereg jest przesunięty o m wyrazów w prawo