Funkcje tworzące - wyznaczenie wartości sumy

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
CryStalRAG
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 18 gru 2012, o 20:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Funkcje tworzące - wyznaczenie wartości sumy

Post autor: CryStalRAG »

Witam mam taki problem dotyczący wyznaczenia wartości sumy z działu funkcje tworzące
\(\displaystyle{ S= \sum_{k=2}^{n-1}\left( n-k \right)^{2} {n -1 \choose n-k}}\)

Podstawienie \(\displaystyle{ n-k=i, i=n-(n-1)=1}\) i trzeba obliczyć:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-2} i^{2} {n-1 \choose i}}\)

Rozważamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=(x+1) ^{n-1}= \sum_{i=0}^{n-1} i ^{2} {n-1 \choose i} x ^{i}}\)

Trzeba policzyć też pochodną f(x) itd a dalej nie wiem jak zrobić.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Funkcje tworzące - wyznaczenie wartości sumy

Post autor: »

CryStalRAG pisze:\(\displaystyle{ (x+1) ^{n-1}= \sum_{i=0}^{n-1} i ^{2} {n-1 \choose i} x ^{i}}\)
Ta równość jest fałszywa.

Jeśli chcesz robić w ten sposób, to wyjdź od prawdziwej równości:
\(\displaystyle{ (x+1) ^{n-1}= \sum_{i=0}^{n-1} \binom{n-1}{i} x ^i}\)
i dwukrotnie zróżniczkuj stronami.

Q.
CryStalRAG
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 18 gru 2012, o 20:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Funkcje tworzące - wyznaczenie wartości sumy

Post autor: CryStalRAG »

Ok dzięki za wskazówkę już chyba wiem jak się za to zabrać
ODPOWIEDZ