Kombinatoryka- zadania

[Zuza1337]

Witam, proszę o rozwiązanie zadań wypisanych przeze mnie niżej, chciałabym je porównać z moimi wynikami i zweryfikować błędy.

1) W pudełku znajdują się 2 kule czarne, 3 niebieskie i 4 żółte. Wszystkie kule są ponumerowane. Na ile sposobów można wybrać dwie kule tak, aby:

a) żadna z nich nie była czarna;
b) były w różnych kolorach.

2) Ze zbioru cyfr \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4,5\right\}}\) wybieramy trzy cyfry i tworzymy liczby trzycyfrowe; cyfry mogą się powtarzać. Ile takich liczb można utworzyć, które:

a) są podzielne przez 4
b) są większe od 234 ?

3) W biegu półfinałowym wystartowało 8 zawodników. Do finału kwalifikuje się czterech pierwszych zawodników. Ile jest możliwych wyników zajęcia czterech pierwszych miejsc przez zawodników w tym biegu?

4) Ile różnych słów (mających sens lub nie) można utworzyć, przestawiając litery w słowie REASEKURACJA?

5) Ile jest numerów telefonów komórkowych spełniających następujące warunki: pierwszą i trzecią cyfrą jest 6, ostatnią 5 lub 9 i w numerze cyfra 4 występuje tylko dwa razy?

6) *** Ile jest funkcji malejących odwzorowujących zbiór \(\displaystyle{ A = \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\right\}}\)
w zbiór \(\displaystyle{ B= \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 \right\}}\) takich, że dla argumentu 5 każda z tych funkcji przyjmuje wartość 10?

7) Ile różnych słów pięcioliterowych ( mających sens lub nie) można utworzyć z 24 liter alfabetu, zakładając, że:

a) każda litera występuje w słowie tylko jeden raz;
b) litery w słowie mogą się powtarzać;
c) litery występujące w każdym słowie nie powtarzają się i są w alfabecie obok siebie ( jak np. w słowie "sport").

8)*** Ile różnych napisów czteroliterowych utworzonych z różnych liter można otrzymać z 24 liter alfabetu, zakładając, że litery występujące w każdym napisie należą do grupy składającej się z sześciu stojących obok siebie w alfabecie liter?

9) W przedziale wagonu kolejowego ustawione są naprzeciw siebie dwa rzędy siedzeń. Każdy rząd składa się z czterech ponumerowanych miejsc. Do przedziału weszły cztery osoby. Dwie osoby usiadły na miejscach z jednego rzędu, pozostałe dwie- naprzeciwko dwóch pierwszych osób. Ile jest takich rozmieszczeń osób w przedziale?

10)*** Mamy 8 kartek, na każdej jest jedna litera. Posługując się tymi kartkami możemy ułożyć 280 napisów ośmioliterowych. Ile jest różnych liter w tym zestawie i ile razy każda litera się powtarza?

Pozdrawiam i czekam na wyniki. Proszę podać tok rozwiązania i wynik. Wtedy będę wiedzieć dokładniej, gdzie zrobiłam błąd. Z góry bardzo dziękuję. : )

[kolorowe skarpetki]

Proszę podać rozwiązania, sprawdzimy i błąd wskażemy.

[Zuza1337]

Ad.1

A- żadna nie była czarna

\(\displaystyle{ \left| A\right| = {3 \choose 2} + {3 \choose 1} * {4 \choose 1} + {4 \choose 2} = 21}\)

B- kule były w różnych kolorach

\(\displaystyle{ \left| B\right|= {2 \choose 1} * {3 \choose 1} + {2 \choose 1} * {4 \choose 1} + {3 \choose 1} * {4 \choose 1} = 26}\)

[kolorowe skarpetki]

Dobrze.

[konrad509]

A ja bym się nie zgodził. Kule są ponumerowane czyli kolejność ma znaczenie. Zatem np. w a) powinno być \(\displaystyle{ 42}\).

[Zuza1337]

Ad.2

A - podzielne przez 4

Takie przywdziewają końcówki:
-12
-24
-32
-52

\(\displaystyle{ \left| A\right|= 3 * 4 = 12}\)

B - większe od 234

^ Z liczbą 2, jako liczbą setek, będzie: 235, 241, 243, 245, 251, 253, 254 => 7 możliwości
^ Teraz narysowałam drzewko, pomijając liczby 1 oraz 2, stąd wyszło mi \(\displaystyle{ 3 * 4 * 3}\)
^ Teraz możliwości:

\(\displaystyle{ \left| B\right|= 3 * 4 * 3 + 7 = 43}\)

-- 17 gru 2012, o 22:59 --

Ad 3

A - liczba możliwych wyników zajęcia czterech pierwszych miejsc w biegu

\(\displaystyle{ \left| A\right| = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680}\)-- 17 gru 2012, o 23:06 --Ad 4

\(\displaystyle{ \frac{12!}{3! * 2! * 2!} = 19958400}\)

[kolorowe skarpetki]

konrad509, przyznaję rację. Uciekło mi zdanie o ponumerowanych kulach.