rozdawanie przedmiotów, różne przypadki.

[matinf]

Na ile sposobów, mogę podzielić 12 rzeczy pomiędzy dwie osoby ?

[Qń]

To zależy czy rzeczy są rozróżnialne (np. książki) czy nierozróżnialne (np. jabłka). W pierwszym przypadku jest to \(\displaystyle{ 2^{12}}\) (bo przy każdej książce mamy dwie możliwości komu ją damy), a w drugim \(\displaystyle{ 13}\) (bo osoba może dostać między \(\displaystyle{ 0}\) a \(\displaystyle{ 12}\) jabłek).

Q.

[matinf]

A jeśli mamy warunek, że każda musi mieć co najmniej jedną rzecz?

[Qń]

To w obu przypadkach od wyniku musimy odjąć \(\displaystyle{ 2}\), bo są tylko dwie możliwości, że któraś osoba nie ma ani jednej rzeczy (a tylko te nam nie pasują).

Q.

[matinf]

Faktycznie,
Dzięki wielkie, umiesz to tłumaczyć
A gdybyśmy tak dzielili rozróżnialne prezenty dla 3 osób?

[Qń]

Jeśli nie mamy żadnych dodatkowych warunków, to będzie to \(\displaystyle{ 3^{12}}\) (przy każdym prezencie mamy trzy możliwości komu go damy). Jeśli natomiast chcemy dodatkowo nałożyć warunek, że każda osoba dostanie co najmniej jeden prezent, to musimy od wyniku odjąć \(\displaystyle{ 3}\) opcje kiedy wszystko dostaje jedna osoba (wystarczy wybrać tę osobę), oraz \(\displaystyle{ 3\cdot (2^{12}-2)}\) opcji, kiedy tylko jedna osoba nie dostanie prezentu (wówczas najpierw musimy wybrać osobę bez prezentu, a między dwie pozostałe rozdzielić prezenty tak, by każda dostała co najmniej jeden - tak samo jak w poprzednim przypadku).

Q.

[matinf]

Ok. A jeśli, wyszczególniona jedna osoba spośród trzech ma dostać:
a) co najmniej jeden.
b) co najmniej dwa.

[Qń]

Wówczas od wszystkich możliwości należy odjąć te, w których ta osoba nie dostaje żadnego prezentu w punkcie a) oraz dostaje co najwyżej jeden prezent w punkcie b).

Q.

[matinf]

A zatem.
a) Mam rozdać tak, aby jakiś najfajniejszy gość dostał choć jeden, albo i więcej. Więc wszystkich podziałów jest \(\displaystyle{ 3^{12}}\)
Więc od wszystkich odejmę te, kiedy gość dostaje zero (to co proponowałeś).
Lecę więc.

W 3^{12} policzyłem także, że każdy może być obdarowany wszystkim (czyli jeden bierze wszystko). Również każda skrajność.
Więc dwie skrajności są tu niedopuszczalne - tylko dwóch niewyszczególnionych dostanie prezenty, szczególny nie dostanie nic, lub też jeden z dwóch niewyszczególnionych weźmie wszystko. Takie możliwości gwarantuje nam oczywiście \(\displaystyle{ 2^{12}}\). Są tu wszelkie rozdania dla dwóch osób. Więc pozostaje mi
\(\displaystyle{ 3^{12} - 2^{12}}\). Nic innego. Bo 3^12 ma wszystkie skrajności, również, wtedy gdy całą pulę weźmie jeden z pozostałych, ale potem odejmę taką możliwość\(\displaystyle{ (2^{12})}\)
b) to po prostu \(\displaystyle{ 3^{12} - (3^{12}-2^{12})}\)
Dobrze to jest?

P.S Dlaczego mamy \(\displaystyle{ 3^{12}}\), a nie \(\displaystyle{ 12^3}\) ? Moglibyśmy przypisywać na odwrót.