Bijekcja - sprawdzenie.

[rNest]

ZADANIE

Dwanaście identycznych listów ma zostać wrzuconych do czterech różnych skrzynek pocztowych.
a)Na ile sposobów można to zrobić?
b)Ile jest możliwych sposobów, jeśli do każdej skrzynki muszą trafić, co najmniej dwa listy?

odp.a)
wzór:

\(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\) rozmieszczanie nierozróżnialnych przedmiotów w rozróżnialnych pudełkach

n=12
k=4

\(\displaystyle{ { 12+4-1\choose 4-1}= {15 \choose 3}=455}\)

odp.)
\(\displaystyle{ 4 \cdot 2=8}\) listów rozłożonych(już rozróżnialnych)
a więc pozostają 4 listy nierozróżnialne:

\(\displaystyle{ {4+4-1 \choose 4-1}= {7 \choose 3}=}\)35

Czy to jest poprawne?

[mat_61]

Wg mnie tak.
Co najwyżej należy wykreślić stwierdzenie z nawiasu, że listy są już rozróżnialne. One są już rozłożone ale w dalszym ciągu nierozróżnialne.

[rNest]

Dzięki serdeczne.

[Paragon16]

\(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\) ten wzór ma jakąś nazwę? Przypomina trochę kombinacje z powtórzeniami ale to nie do końca to (chyba ..)

[mat_61]

Tak, to jest wzór na kombinację z powtórzeniami. rNest zamienił symbole w stosunku do tych książkowych, ale jest OK.

Tutaj tworzymy 12-elementowy multizbiór ze zbioru 4-elementowego, czyli wg najczęściej stosowanego zapisu:

\(\displaystyle{ k=12 \ n=4 \ |A|={k+n-1 \choose k}}\)

Oczywiście jest to zgodne z powyższym rozwiązaniem, ponieważ:

\(\displaystyle{ {k+n-1 \choose k}={k+n-1 \choose n-1}}\)