kombinatoryka (symbol Newtona)

[gatek]

Witam! Mam problem z tymi zadaniami:

1. Wyznacz wszystkie liczby naturalne n spełniające nierówność \(\displaystyle{ {n \choose 3} + {n \choose 4} < {n+1 \choose 3}}\)

2. Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ k \in N, n \in N}\) i \(\displaystyle{ k<n}\), to \(\displaystyle{ {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1}}\)

W 1. za każdym razem mi co innego wychodzi i nie ma nic wspólnego z poprawną odpowiedzią, a 2. nie bardzo w ogóle wiem jak zrobić.


Proszę o szybką odpowiedź.

[czekoladowy]

Zadanie 2.:    

2. Spośród \(\displaystyle{ n+1}\) elementów wyróżnijmy tylko jeden. Jedna strona to wybór \(\displaystyle{ k+1}\) elementów ze wszystkich \(\displaystyle{ n+1}\) elementów, lewa strona to taki sam wybór gdyż - \(\displaystyle{ {n \choose k+1}}\) oznacza wybór \(\displaystyle{ k+1}\) elementów spośród wszystkich \(\displaystyle{ n}\) elementów (odrzucając ten jeden wyróżniony), \(\displaystyle{ {n \choose k }{1 \choose 1 }={n \choose k }}\) to wybór \(\displaystyle{ k+1}\) elementów wśród których dokładnie jeden jest tym wyróżnionym elementem, jasne jest, że te wybory są niezależne i wyczerpują wszystkie możliwe przypadki (albo wśród wybranych \(\displaystyle{ k+1}\) elementów jest ten wyróżniony element albo go nie ma) stąd ta suma

[gatek]

sorki ale niestety jestem takim głąbem że nie kminie o co w tym chodzi. do mnie trzeba prosto jak do chłopa pańszyżnianego

[czekoladowy]

Zadanie 1.:    

\(\displaystyle{ {n \choose 3} + {n \choose 4} < {n+1 \choose 3} \Leftrightarrow \\ {n+1 \choose 4} < {n+1 \choose 3} \Leftrightarrow \\ \frac{(n+1)!}{4!(n+1-4)!}< \frac{(n+1)!}{3!(n+1-3)!} \Leftrightarrow \\ \frac{(n-2)!}{(n-3)!} < \frac{4!}{3!} \Leftrightarrow \\ n-2 < 4 \Leftrightarrow \\ n<6.}\)
Pamiętając o tym, iż \(\displaystyle{ n \ge 4}\), otrzymujemy : \(\displaystyle{ n=4 \text{ lub } n=5}\).

[gatek]

a to drugie moglby ktoś tak bardzo prosto napisac?