Ile liczb 5-cyfrowych zawiera dokładnie 1 trójkę?

[rNest]

Jak w tytule:
ile liczb 5-cyfrowych zawiera dokładnie 1 trójkę?

Ja bym powiedział, że 1 cyfra nie może być 0, a jedna na jednej z pozostałych pozycji to 3, więc pozycyjnie:

8 x 1 x 9 x 9 x 9
Wobec czego wynik, to \(\displaystyle{ 8 \cdot 1 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9}\).

Ale już wiem, że policzyłem błędnie. Może ktoś z forumowiczów byłby mógł wytłumaczyć procedurę?

[kenseiakita]

Moim skromnym zdaniem, to powinieneś rozważyć poszczególne pozycje trójki.
Mamy zatem trójkę na:

• 1-ym miejscu \(\displaystyle{ 1*9*9*9*9}\)
  2-im miejscu \(\displaystyle{ 8*1*9*9*9}\)
  3-im miejscu \(\displaystyle{ 8*9*1*9*9}\)
  4-ym miejscu \(\displaystyle{ 8*9*9*1*9}\)
  5-ym miejscu \(\displaystyle{ 8*9*9*9*1}\)

Ponieważ iloczyny 2-5 są identyczne, mamy: \(\displaystyle{ 4*(8*1*9*9*9)+(1*9*9*9*9)=23328+6561=29 889}\)
Uprzedzam jednak, iż mogłem się mylić

[Vardamir]

Wydaje mi się, że dobrze. Choć ja wolę liczyć inaczej.

Robiłem tak. Wybieramy miejsce gdzie wstawimy trójkę, czyli \(\displaystyle{ {5 \choose 1}}\) i dobieramy do niej cztery cyfry z dziewięcio-elmentowego zbioru.

Czyli \(\displaystyle{ {5 \choose 1}\cdot 9^4}\)

Pozostaje odjąć sytuację gdy na pierwszej pozycji było zero. Czyli \(\displaystyle{ {4 \choose 1}\cdot 9^3}\)

\(\displaystyle{ 5\cdot 9^4 -4\cdot 9^3=9^3\cdot (45-4)=41\cdot 9^3}\)

Wynik taki sam.

[rNest]

Ciekawy sposób. Jeszcze tak nie liczyłem. Dziękuję.