Wzór dwumianowy a sigma

[anq_]

Witam.
Jak "rozłożyć" następujący znak sigma?
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n+1} {n\choose k} = \sum_{k=0}^{n} { n\choose k } + { n+1\choose ?}\)
Z góry dziękuje za pomoc.

[Qń]

Zachodzi równość:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n+1} {n\choose k} = \sum_{k=0}^{n} { n\choose k }}\)
bo \(\displaystyle{ n+1}\)-wszy składnik wyjściowej sumy i tak jest zerem.

Q.

[anq_]

Dziękuje za odpowiedź, ale dlaczego n+1 składnik jest równy zeru?

[Qń]

Ponieważ \(\displaystyle{ \binom nk}\) jest zerem gdy \(\displaystyle{ k<0}\) i gdy \(\displaystyle{ k>n}\).

Q.

[anq_]

Czyli ile wynosilby dwumian newtona, ktory nalezaloby dodac? (ile wynosi n i k dla n+1 skladnika?)

[Qń]

\(\displaystyle{ n}\) jest cały czas takie samo, więc oczywiście się nie zmienia. Natomiast dla \(\displaystyle{ k=n+1}\) składnik \(\displaystyle{ \binom nk}\) jest oczywiście równy \(\displaystyle{ \binom{n}{n+1}}\). Czyli jak już zostało powiedziane: zero.

Q.

[vpprof]

anq_, sprawdź, czy nie pomyliłeś się w przepisywaniu, bo to jest trochę bezsensowne. \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) przy \(\displaystyle{ k>n}\) jest z definicji równe \(\displaystyle{ 0}\), chyba nie o to chodziło?