Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej b>1, jeśli \(\displaystyle{ (111...11)_{b}}\) jest liczbą pierwszą to liczba jedynek w tym zapisie jest liczbą pierwszą.
Zdanie to jest chyba fałszywe. Jak można to wykazać?
Udowodnić że liczba jest liczbą pierwszą
-
vpprof
- Użytkownik
- Posty: 492
- Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 64 razy
Udowodnić że liczba jest liczbą pierwszą
Skąd przypuszczenie, że fałszywe? Na początek logika: \(\displaystyle{ p \rightarrow q= \neg p \vee q=q \vee \neg p= \neg q \rightarrow \neg p}\). Wystarczy więc udowodnić, że jeśli liczba jedynek jest złożona, to liczba powstała z tych jedynek też jest złożona.
Jest tak w istocie. Oznaczmy liczbę jedynek jako \(\displaystyle{ j}\), zaś liczbę, która powstaje z tych jedynek jako \(\displaystyle{ l}\). Zapisując ściśle \(\displaystyle{ l= \sum_{n=0}^{j}10^n}\). Analogicznie wprowadźmy oznaczenie \(\displaystyle{ j_d}\) symbolizujące pewien dzielnik liczby \(\displaystyle{ j}\), tzn. \(\displaystyle{ j_d|j,\ j_d \in \mathbb{N_+}}\), oraz oznaczenie \(\displaystyle{ l_d}\), czyli liczbę, jaka powstaje z \(\displaystyle{ j_d}\) jedynek: \(\displaystyle{ l_d= \sum_{n=0}^{j_d}10^n}\).
Jeśli mamy liczbę jedynek podzielną np. przez 3, to jedynki te możemy pogrupować w grupy po 3 jedynki, a z kolei te grupy pomnożyć przez odpowiednią potęgę 10 i potraktować jako składniki, dające w sumie \(\displaystyle{ l}\). Wtedy pokażemy, że \(\displaystyle{ l}\) jest podzielne przez liczbę składającą się z 3 jedynek. Np. \(\displaystyle{ 111111111=111+111 \cdot 1000+111 \cdot 1000000=111 \cdot \left( 1+1000+1000000\right)}\).
Formalnie
\(\displaystyle{ l=\sum_{n=0}^{j}1 \cdot 10^n=
\sum_{n=0}^{ \frac{j}{j_d} } \underbrace{(11…1)}_{j_d} \cdot 10^{j_d \cdot n}=
\sum_{n=0}^{ \frac{j}{j_d} } \left( \sum_{n'=0}^{j_d}10^{n'}\right) \cdot 10^{j_d \cdot n}=
\sum_{n=0}^{ \frac{j}{j_d} } l_d \cdot 10^{j_d \cdot n}=
l_d \cdot \sum_{n=0}^{ \frac{j}{j_d} }10^{j_d \cdot n}}\)
a więc \(\displaystyle{ l_d|l}\), a \(\displaystyle{ l}\) jest liczbą złożoną.
Jest tak w istocie. Oznaczmy liczbę jedynek jako \(\displaystyle{ j}\), zaś liczbę, która powstaje z tych jedynek jako \(\displaystyle{ l}\). Zapisując ściśle \(\displaystyle{ l= \sum_{n=0}^{j}10^n}\). Analogicznie wprowadźmy oznaczenie \(\displaystyle{ j_d}\) symbolizujące pewien dzielnik liczby \(\displaystyle{ j}\), tzn. \(\displaystyle{ j_d|j,\ j_d \in \mathbb{N_+}}\), oraz oznaczenie \(\displaystyle{ l_d}\), czyli liczbę, jaka powstaje z \(\displaystyle{ j_d}\) jedynek: \(\displaystyle{ l_d= \sum_{n=0}^{j_d}10^n}\).
Jeśli mamy liczbę jedynek podzielną np. przez 3, to jedynki te możemy pogrupować w grupy po 3 jedynki, a z kolei te grupy pomnożyć przez odpowiednią potęgę 10 i potraktować jako składniki, dające w sumie \(\displaystyle{ l}\). Wtedy pokażemy, że \(\displaystyle{ l}\) jest podzielne przez liczbę składającą się z 3 jedynek. Np. \(\displaystyle{ 111111111=111+111 \cdot 1000+111 \cdot 1000000=111 \cdot \left( 1+1000+1000000\right)}\).
Formalnie
\(\displaystyle{ l=\sum_{n=0}^{j}1 \cdot 10^n=
\sum_{n=0}^{ \frac{j}{j_d} } \underbrace{(11…1)}_{j_d} \cdot 10^{j_d \cdot n}=
\sum_{n=0}^{ \frac{j}{j_d} } \left( \sum_{n'=0}^{j_d}10^{n'}\right) \cdot 10^{j_d \cdot n}=
\sum_{n=0}^{ \frac{j}{j_d} } l_d \cdot 10^{j_d \cdot n}=
l_d \cdot \sum_{n=0}^{ \frac{j}{j_d} }10^{j_d \cdot n}}\)
a więc \(\displaystyle{ l_d|l}\), a \(\displaystyle{ l}\) jest liczbą złożoną.