Rozróżnianie kombinacji,permutacji i wariacji.

[rNest]

Mam pytanie - czy istnieje jakaś skuteczna metodyka rozróżniania czy w zadaniu chodzi o permutacje, wariacje czy kombinacje?

[chris_f]

Przede wszystkim trzeba rozstrzygnąć, czy ważna jest kolejność, czy nie: np. w losowaniu lotka kolejność nie jest ważna, a np. w kodzie PIN lub liczbie tworzonej z cyfr już jest.
Jeżeli kolejność nie jest ważna, to będzie kombinacja
Jeżeli jest ważna to będzie wariacja, przy czym w tym przypadku należy jeszcze rozważyć dwie możliwości - czy elementy mogą się powtarzać (wtedy z powtórzeniami), czy nie (wtedy bez powtórzeń).
Permutacja jest specyficzną odmianą wariacji bez powtórzeń.

Dla przykładu: wybieramy trzyosobową delegację z klasy - kolejność nie jest istotna, a zatem kombinacja.

Wybieramy przewodniczącego, zastępcę i skarbnika - kolejność będzie ważna, a zatem wariacja.

Spośród pięciu punktów wybieramy dwa tworzące prostą - kolejność nie jest ważna - kombinacja.

Siedem różnych liter układamy w słowo - kolejność jest ważna - będzie wariacja (a dokładniej permutacja).

[rNest]

Czyli permutacja jest odmianą wariacji ... Jak je rozróżnić?

[chris_f]

W permutacji biorą udział wszystkie elementy zbioru: np. masz pięć cyfr i wszystkie ustawiasz w pewnej kolejności.
Natomiast gdy spośród tych pięciu wybierasz np. trzy i ustawiasz w określonej kolejności to mamy do czynienia z wariacją trzy-elementową ze zbioru pięcio-elementowego.
A zatem permutację tych pięciu cyfr można nazwać wariacją pięcioelementową ze zbioru pięcioelementowego.
Ogólnie gdy wybieramy \(\displaystyle{ k}\) elementów ze zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego i ustawiamy je w określonej kolejności to:
wariacji (bez powtórzeń) k-elementowych ze zbioru n-elementowego będzie
\(\displaystyle{ V^k_n=\frac{n!}{(n-k)!}}\)
permutacji zbioru n-elementowego będzie
\(\displaystyle{ P_n=V^n_n=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=n!}\)

Natomiast gdy elementy mogą się powtarzać (wtedy może dojść do sytuacji, że \(\displaystyle{ k>n}\)) to mamy wariację z powtórzeniami k-elementową ze zbioru n-elementowego, ich liczba to
\(\displaystyle{ \bar{V}^k_n=n^k}\)

[rNest]

Rozumiem. Super. Twoje treści lepiej do mnie przemawiają niż sucha teoryja z wykładów. Dziękuję.