liczby Stirilinga II-go rodzaju dowód na wzór jawny

[bellaa87]

Nie rozumiem pewnych części w dowodzie na wzór jawny liczb Stirilinga II-go rodzaju.
Oto one:
Współczynnik \(\displaystyle{ A_{r} = \frac{1}{\left( 1-1/r \right) \left( 1-2/r \right) ... \left( 1- \left( r-1 \right)/r \right) \left( 1- \left( r+1 \right)/r \right) ... \left( 1-k/r \right)}}\), gdzie \(\displaystyle{ r \in \left\{ 0, ..., k \right\}}\). Podobno da się go przedstawić w postaci: \(\displaystyle{ A_{r} = \left( -1 \right)^{k-r} \frac{r^{k-1}}{\left( r-1 \right)! \left( k-r \right)!}}\)
Tego właśnie nie widzę, jak z tego dłuższego dojść do krótszego wzoru.
Będę wdzięczna za jakiekolwiek wskazówki.
Pozdrawiam.

[octahedron]

\(\displaystyle{ A_{r} = \frac{1}{\left( 1-\frac{1}{r} \right) \left( 1-\frac{2}{r} \right) ... \left( 1- \frac{r-1}{r} \right) \left( 1- \frac{r+1}{r} \right) ... \left( 1-\frac{k}{r} \right)}=\\\\
=\frac{r^{k-1}}{r\left( 1-\frac{1}{r} \right) r\left( 1-\frac{2}{r} \right) ... r\left( 1- \frac{r-1}{r} \right)r\left( 1- \frac{r+1}{r} \right) ... r\left( 1-\frac{k}{r} \right)}=\\\\
=\frac{r^{k-1}}{\left(r-1\right) \left(r-2\right) ... \cdot 1\cdot \left(-1\right) ... \left(r-k\right)}=\\\\
=\frac{r^{k-1}}{(r-1)!\cdot \left(-1\right) ... (-1)\left(k-r\right)}=\\\\
=(-1)^{k-r}\frac{r^{k-1}}{(r-1)!(k-r)!}}\)

[bellaa87]

Dzięki wielkie