średnia wielkość w zadaniach kombinatorycznych

[willhelm]

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zadań:

1.Dziewięciu chłopców i 14 dziewczyn ustawiano na wszystkie możliwe sposoby w rzędzie. Wyznaczyć średnią liczbę sąsiadów odmiennej płci.

2. Dana jest rodzina wszystkich \(\displaystyle{ k}\)-elementowych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,......,2n\right\}}\). Dla każdego takiego podzbioru \(\displaystyle{ A}\) rozważmy jego najmniejszy element. Wyznaczyć średnią wielkość najmniejszego elementu po wszystkich takich \(\displaystyle{ k}\)-elementowych podzbiorach.

[mol_ksiazkowy]

ad 2
Zadanie jest ze 101 Nierozwiązanych

Ukryta treść:    

szkic
Jest \(\displaystyle{ {n-i \choose k-1}}\) podzbiorów \(\displaystyle{ k}\) elementowych zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, ..., n \}}\) w których \(\displaystyle{ i}\) jest najmniejszym elementem.
A więc średnia z minimów to:
\(\displaystyle{ s =\frac{ \sum_{i=1}^{n} i{n-i \choose k-1} }{ {n \choose k}}}\).
Jednak skoro \(\displaystyle{ {k \choose k}+{k+1 \choose k}+ ....+ {n \choose k}= {n+1 \choose k+1}}\) to
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i {n-i \choose k-1} ={n+1 \choose k+1}}\)
i \(\displaystyle{ s =\frac{n+1}{k+1}}\)
(w najprostszym przypadku, tj. \(\displaystyle{ k=1}\) to \(\displaystyle{ s= \frac{1+…+n}{n}= \frac{n+1}{2}}\)).

[norwimaj]

Czy w pierwszym chodzi o średnią liczbę par sąsiadów odmiennej płci?

Dla każdego chłopaka \(\displaystyle{ c}\) i dziewczyny \(\displaystyle{ d}\) prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ d}\) będą sąsiadami, jest równe \(\displaystyle{ 2\cdot\frac{22}{23}\cdot\frac1{22}}\). A wszystkich możliwych wyborów \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ d}\) jest \(\displaystyle{ 9\cdot14}\). Jaki stąd wniosek?