znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu
-
JakubCh
- Użytkownik
- Posty: 613
- Rejestracja: 18 gru 2011, o 11:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów/Kraków
- Podziękował: 265 razy
- Pomógł: 5 razy
znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu
\(\displaystyle{ a _{n} =5a _{n-1} -6a _{n-2} + n3 ^{n}}\) oraz \(\displaystyle{ a _{1} = 1}\), \(\displaystyle{ a _{2} = 5}\)
-
szw1710
znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu
Tak jak w równaniu różniczkowym rzędu 2 o stałych współczynnikach. Najpierw rozwiązujemy rekurencję jednorodną \(\displaystyle{ a _{n} =5a _{n-1} -6a _{n-2}}\), następnie ,,przewidujemy' jej rozwiązanie szczególne i obie rzeczy dodajemy. Metoda przewidywań też analogiczna jak w równaniu różniczkowym.
Tego typu rekurencje gościły tu wielokrotnie, a zatem cierpliwie przeszukaj całe Forum.
Jednorodna: \(\displaystyle{ c_n=A\cdot 2^n+B\cdot 3^n}\).
Teraz przewidujesz rozwiązanie szczególne rekurencji niejednorodnej:
\(\displaystyle{ b_n=n\cdot(an+b)\cdot 3^n=(an^2+bn)\cdot 3^n.}\)
Wyznacz \(\displaystyle{ a,b}\) wiedząc, że ma to być rozwiązanie rekurencji wyjściowej.
Rozwiązanie ogólne będzie mieć postać \(\displaystyle{ a_n=c_n+b_n}\). Stałe \(\displaystyle{ A,B}\) wyznacz z warunków początkowych.
Tego typu rekurencje gościły tu wielokrotnie, a zatem cierpliwie przeszukaj całe Forum.
Jednorodna: \(\displaystyle{ c_n=A\cdot 2^n+B\cdot 3^n}\).
Teraz przewidujesz rozwiązanie szczególne rekurencji niejednorodnej:
\(\displaystyle{ b_n=n\cdot(an+b)\cdot 3^n=(an^2+bn)\cdot 3^n.}\)
Wyznacz \(\displaystyle{ a,b}\) wiedząc, że ma to być rozwiązanie rekurencji wyjściowej.
Rozwiązanie ogólne będzie mieć postać \(\displaystyle{ a_n=c_n+b_n}\). Stałe \(\displaystyle{ A,B}\) wyznacz z warunków początkowych.