Przed świętami Bożego Narodzenia.

[Union]

Przed świętami Bożego Narodzenia do domu państwa Kowalskich, którzy mają troje dzieci, przybył Święty Mikołaj i przywiózł dzieciom pięć różnych zabawek. Na ile sposobów Mikołaj mógł obdarowac dzieci zabawkami tak, aby najstarsze dziecko dostało co najwyżej 2 zabawki.

Mam rozwiązanie:

Są trzy możliwości,
1. Najstarsze dziecko nie otrzymuje prezentu, wtedy pozostałej dwójce można przydzielić prezenty na \(\displaystyle{ 2^5}\) możliwości.
2. Najstarsze dziecko dostaje jeden prezent, najpierw wybieramy dla niego jeden prezent 5 możliwości, potem rozdzielamy 4 prezent dla pozostałej dwójki,\(\displaystyle{ 2^4}\)
3. najstarsze dziecko dostaje 2 prezenty, najpierw wybieramy dla niego 2 prezenty \(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\), potem pozostałe 3 prezenty rozdzielamy \(\displaystyle{ 2^3}\)

Ale totalnie nie wiem skąd wzięła się tu wariacja z powtórzeniami np: można przydzielić prezenty na \(\displaystyle{ 2^5}\) możliwości, przecież nie mogę dać 2 razy tego samego prezentu.
Czy mógłby ktoś rozłożyć ten wybór "wariacji z powtórzeniami" na części pierwsze.


Z góry dzięki.

[pawellogrd]

Popełniasz jeden błąd w rozumieniu tej wariacji - tutaj nie chodzi o powtarzanie czynności dawania danej zabawki, ale o powtarzanie wyboru dziecka, tzn. jedno z dzieci można wybrać więcej niż jeden raz do tego, by dać mu zabawkę. Czyli:

1. Bierzemy zabawkę nr 1 i wybieramy dziecko - można to zrobić na 2 sposoby.
2. Bierzemy zabawkę nr 2 i wybieramy dziecko - znów można to zrobić na 2 sposoby, bo to, że dziecko otrzymało już zabawkę wcześniej nie wyklucza możliwości, by dać jemu kolejną zabawkę.
3., 4. i 5. analogicznie do 1. i 2.

Czyli łącznie robimy to na \(\displaystyle{ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5}\) sposobów.

Zatem ta wariacja jest 5-wyrazowym ciągiem (tyle mamy zabawek) zbioru 2-elementowego (tyle mamy dzieci, którym możemy dać zabawkę). Czyli te ciągi będą wyglądały, np. tak:

(Dziecko1, Dziecko1, Dziecko1, Dziecko2, Dziecko2)
(Dziecko1, Dziecko2, Dziecko1, Dziecko2, Dziecko1)
(Dziecko2, Dziecko2, Dziecko2, Dziecko2, Dziecko2)

itd.

[Union]

Wielkie dzięki w końcu zrozumiałem wariację ( yeah )