Obliczyć

[brasco]

Jak obliczyć

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{200}}\)\(\displaystyle{ 200\choose k}\)\(\displaystyle{ \cdot}\) k\(\displaystyle{ \cdot}\)(-3)\(\displaystyle{ ^{k}}\)

[K.Inc.]

Domyslam sie ze trzba tu skorzystac z tego ze:
\(\displaystyle{ {{200} \choose {1}} + {{200} \choose {2}} + ... + {{200} \choose{200}}=2^{200}-1}\)
i
\(\displaystyle{ 1^2+2^2+3^2+...+200^2=\frac{200*201*401}{6}}\).
Ale narazie nie mam pomysłu...

[max]

ja nie rozumiem zapisu... (czemu nie zapisałeś całego wyrażenia w TeX-u brasco?)

[brasco]

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{200}}\)\(\displaystyle{ 200\choose k}\)\(\displaystyle{ \cdot}\) \(\displaystyle{ k}\)\(\displaystyle{ \cdot}\)\(\displaystyle{ (-3)^{k}}\)

[max]

Zajmijmy się ogólniejszym przypadkiem:
\(\displaystyle{ \sum\limits_{k = 1}^{n} {n\choose k}\cdot k c^{k}}\)
Najpierw, przy założeniu, że:
\(\displaystyle{ n, k \mathbb{Z}, \ n qslant k qslant 1}\)
przekształćmy:
\(\displaystyle{ {n\choose k}\cdot k = \frac{n!}{k!(n - k)!}\cdot k = \frac{n(n - 1)!}{(k - 1)!\big(n - 1 - (k - 1)\big)!} = n\cdot {n - 1 \choose k - 1}}\)
I stąd mamy:
\(\displaystyle{ \sum\limits_{k = 1}^{n} {n\choose k}\cdot k c^{k} = \sum\limits_{k = 1}^{n} n\cdot {n - 1\choose k - 1} c^{k} = n\cdot c \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}{n - 1\choose k} c^{k} = nc(1 + c)^{n - 1}}\)

Czyli w naszym konkretnym przypadku:
\(\displaystyle{ \sum\limits_{k = 1}^{200} {200\choose k}\cdot k (-3)^{k} = 200\cdot (-3) (1 - 3)^{199} = 600 2^{199}}\)