Gra w tysiąca (kości)

[Tysiak]

Witam

Piszę do was z pytaniem z uwagi na grę w tysiąca w kości. Zastanawia mnie parę przypadków z nią związanych, a konkretnie chodzi o prawdopodobieństwo. Przejrzałem już wiele podobnych tematów, jednak zawsze jakiś detal powoduje, że nie jestem pewny obliczeń.
Krótko o zasadach. Liczą się 1 i 5 oraz układy z konfiguracja trzech, czterech i pięciu kości tych samych. Pierwszy rzut to rzut wszystkimi kośćmi, dalej liczbę ustala gracz jeśli ma możliwość. Więcej nie będzie nam potrzebne wiedzieć.

Zagadnienia.
1. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia pary jedynek rzucając wszystkimi kośćmi.
2. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia jednej jedynki lub piątki rzucając czterema kośćmi.
3. Wyrzuciliśmy 11564. Zabieramy kości 1564 i rzucamy ponownie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucimy z powrotem 1 i 5. Czy opłaca się zabierać i próbować wyrzucić coś lepszego czy lepiej zapisać wynik ?

Za każdym razem podpierałem się literaturą ze statystyki. Z niej wyszło mi, że powinienem korzystać z prawdopodobieństwa na zdarzenia nie zależne zespołowo. Wykorzystując wzór.

\(\displaystyle{ P(A) = 1 - q^{n}}\)

Obliczenia są proste jeśli pytamy o praw. wyrzucenia np 1 lub 5 czterema kościami wtedy.

\(\displaystyle{ p = \frac{2}{6} = 0,3333}\)

\(\displaystyle{ q = 1 - p}\)

\(\displaystyle{ q = 0,67}\)

\(\displaystyle{ P(A) = 1 - 0,67^{4} = 0,79}\)

Zatem mamy 79% szans, że przy rzucie czterema kośćmi choć na jednej z nich będzie 1 lub 5. Sprawy się komplikują jeśli zaczynamy pytać o parę
Można to zrobić na około wyliczając moc zbioru. Dla 4 kości to:

\(\displaystyle{ \Omega = 6^{4} = 1296}\) ps. gdzie jest znak omegi

Dalej wypisujemy zdarzenia sprzyjające tj.

\(\displaystyle{ P(A)= (1122),(1212),(1221),(2211)...}}\)

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{A}{\Omega}}\)

Chcę uniknąć tego wypisywania pod zborów poprzez zastosowanie jakiegoś wzoru tylko nie wiem jakiego, który dałby mi ilość tych zbiorów. Próbowałem z wariacja z powtórzeniami, ale coś intuicyjnie mi nie pasowało.

Proszę was szanowni forumowicze o pomoc

-- 29 lis 2012, o 22:00 --

Nie wiem czy robię prawidłowo powielając post, ale mam nową myśl i może podpowiedź dla czytających.

Wpadłem na taki pomysł, jednak bez wypisywania się nie obyło, lecz nieco to ukróciłem i mam nadzieję, że dobrze
Rozważmy przypadek rzutu tylko 4 kostkami mając wcześniej wyrzuconą już 1-dynke.
Pytamy o to jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia pary jedynek rzucając 4 kostkami na raz ?
Moc zbioru dla 4 kostek to

\(\displaystyle{ /Omega = 6 ^{4} = 1296}\)

Co zrobiłem dalej. Dalej wypisałem wszystkie zdarzenia sprzyjające, ale tylko w następującej postaci

\(\displaystyle{ 11111
11112
11113
11114
11115
11116
1111
1122
1123
1124
1125
1126
1121
1131
1132
1133
1134
1135
1136
1141
1142
1143
1144
1145
1145
1151
1152
1153
1154
1155
1156
1161
1162
1163
1164
1165
1166}\)

Dla każdego zbioru obliczyłem permutację z powtórzeniami. Np dla zbioru

\(\displaystyle{ P = (1151) = 12}\)

Dodałem do siebie wszystkie permutację. Wyszło 331 i następnie obliczyłem prawdopodobieństwo.

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{331}{1296} \approx 26%}\)

Jakie wasze zdanie na temat tej metody. Czy można prościej ?-- 29 lis 2012, o 22:06 --Nie wiem czy robię prawidłowo powielając post, ale mam nową myśl i może podpowiedź dla czytających.

Wpadłem na taki pomysł, jednak bez wypisywania się nie obyło, lecz nieco to ukróciłem i mam nadzieję, że dobrze
Rozważmy przypadek rzutu tylko 4 kostkami mając wcześniej wyrzuconą już 1-dynke.
Pytamy o to jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia pary jedynek rzucając 4 kostkami na raz ?
Moc zbioru dla 4 kostek to

\(\displaystyle{ \Omega = 6 ^{4} = 1296}\)

Co zrobiłem dalej. Dalej wypisałem wszystkie zdarzenia sprzyjające, ale tylko w następującej postaci

\(\displaystyle{ (11111,11112,11113,11114,11115,11116,1111,1122,1123,1124,1125,1126,1121,1131,1132,1133,1134,
...
1166)}\)

Dla każdego zbioru obliczyłem permutację z powtórzeniami. Np dla zbioru

\(\displaystyle{ P = (1151) = 12}\)

Dodałem do siebie wszystkie permutację. Wyszło 331 i następnie obliczyłem prawdopodobieństwo.

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{331}{1296} \approx 26%}\)

Jakie wasze zdanie na temat tej metody. Czy można prościej ?