Ile jednomianów pojawia się w rozwinięciu wielomianowym \(\displaystyle{ \left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{s} \right) ^{n}}\) ?
prosiłbym o przedstawienie toku rozumowania oprócz samej odpowiedzi
rozwinięcie wielomianowe
-
vpprof
- Użytkownik
- Posty: 492
- Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 64 razy
rozwinięcie wielomianowe
Każdy jednomian składa się z liczbowego współczynnika mnożonego przez wszystkie zmienne \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{s}}\) w różnych potęgach. Wykładniki tych potęg mogą być zerami a suma tych wykładników w każdym jednomianie musi wynosić \(\displaystyle{ n}\).
Można zamiast zmiennych \(\displaystyle{ x_{1},x_{2}}\) itd. wyobrazić sobie kule, które będą wylosowane tyle razy, ile wynosi wykładnik przy danej zmiennej. Wtedy liczba jednomianów będzie równa liczbie sposobów, na jakie można wylosować ze zwracaniem \(\displaystyle{ n}\) kul spośród \(\displaystyle{ s}\) kul. Kolejność wypadnięcia danej kuli jest nieważna, ważne jest tylko, ile razy dana kula wypadła (wykładnik przy zmiennej). Jest to dobrze znany wzór na kombinacje z powtórzeniami, który przy twoich oznaczeniach będzie wyglądał: \(\displaystyle{ {s + n - 1 \choose n}}\) i taka jest odpowiedź na twoje pytanie.
Można zamiast zmiennych \(\displaystyle{ x_{1},x_{2}}\) itd. wyobrazić sobie kule, które będą wylosowane tyle razy, ile wynosi wykładnik przy danej zmiennej. Wtedy liczba jednomianów będzie równa liczbie sposobów, na jakie można wylosować ze zwracaniem \(\displaystyle{ n}\) kul spośród \(\displaystyle{ s}\) kul. Kolejność wypadnięcia danej kuli jest nieważna, ważne jest tylko, ile razy dana kula wypadła (wykładnik przy zmiennej). Jest to dobrze znany wzór na kombinacje z powtórzeniami, który przy twoich oznaczeniach będzie wyglądał: \(\displaystyle{ {s + n - 1 \choose n}}\) i taka jest odpowiedź na twoje pytanie.