jak rozwiązać rekurencje

[JakubCh]

\(\displaystyle{ a _{n} = 2 \frac{a _{n-1} ^{3} }{a _{n-2} ^{2} }}\) oraz \(\displaystyle{ a _{1} = 1, a _{2} = 2}\)

nie wiem od czego zacząć, tak samo się to robi jak normalne rekurencje?

[Qń]

Równoważnie:
\(\displaystyle{ \frac{a _{n}}{a_{n-1}} = 2 \frac{a _{n-1} ^{2} }{a _{n-2} ^{2} }}\)
czyli po podstawieniu \(\displaystyle{ b_n= \frac{a _{n}}{a_{n-1}}}\) mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b_2=2 \\ b_n= 2b_{n-1}^2\end{cases}}\)

Dalej po zlogarytmowaniu i podstawieniu \(\displaystyle{ c_n = \log_2b_n}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} c_2=1 \\ c_n= 1+ 2c_{n-1}\end{cases}}\)

To już jest prosta rekurencja, której rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ c_n=2^{n-1}-1}\) skąd \(\displaystyle{ b_n=\frac 12 2^{2^{n-1}}}\) oraz mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a_n}{a_1} = \prod_{k=2}^{n} b_k = \frac{1}{2^{n-1}}\cdot 2^{\sum_{k=2}^{n}2^{k-1}}=2^{2^{n}-n-1}}\)
czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ a_n=2^{2^{n}-n-1}}\)

Q.

[JakubCh]

dzięki -- 23 lis 2012, o 21:10 --obliczyłem \(\displaystyle{ b _{n}}\) ale nie rozumiem do końca sposobu, w który wyliczyłeś \(\displaystyle{ a _{n}}\). Czy dałoby radę jakoś to w 2 zdaniach opowiedzieć?