Wariacje i permutacje

[tommich]

witam,

1. Na ile sposobów można spermutować ciąg liczb \(\displaystyle{ \left\{1,2,3, … n \right\}}\) tak aby żadna z liczb nie pozostawała na swoim miejscu.
2. Ile liczb większych od 3 milionów można utworzyć z cyfr \(\displaystyle{ 1,2,2,4,6,6,6}\)
3. W ilu macierzach zero – jedynkowych n x m co najmniej jeden wiersz jest zerowy
4. Na ile sposobów można posadzić 5 par wrogów wogół okrągłego stołu aby wrogowie nie siedzieli obok siebie.
5. Na ile sposobów można podzielić zbiór „n” elementowy na 2 nie puste podzbiory.
6. Wykazać, że dla każdego n \(\displaystyle{ n \in N}\) N liczba \(\displaystyle{ 10^{n} - 1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 9}\) bez reszty.

[Pancernik]

2. \(\displaystyle{ A=4 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=2880}\)

4. \(\displaystyle{ A=5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2=28800}\)

6.
\(\displaystyle{ 10^n-1=10^n-1^n=\left( 10-1\right)\left( 10^{n-1}+10^{n-2} \cdot 1^1+\dots+10^1 \cdot 1^{n-2}+1^{n-1}\right)=9\left( 10^{n-1}+10^{n-2} \cdot 1^1+\dots+10^1 \cdot 1^{n-2}+1^{n-1}\right)}\)

Niech \(\displaystyle{ x=10^{n-1}+10^{n-2} \cdot 1^1+\dots+10^1 \cdot 1^{n-2}+1^{n-1}}\)
to \(\displaystyle{ 9\left( 10^{n-1}+10^{n-2} \cdot 1^1+\dots+10^1 \cdot 1^{n-2}+1^{n-1}\right)=9x}\)

\(\displaystyle{ 10^n-1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 9}\) bez reszty, bo \(\displaystyle{ 9x}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 9}\).

[tommich]

Ok, wszystko jasne, zad. 6 zrobilem i wyszlo identycznie ale zad. 2 i 4 nie wiem skad Ci to wyszlo. Moge prosic o jakies wyjasnienie ??

[Pancernik]

Zadanie 2
Miliony składają się z siedmiu cyfr. Pierwsza cyfra nie może być mniejsza niż 3. Czyli na pierwszym miejscu mamy 4 możliwości. Na drugim możemy już wziąć wszystkie z wyjątkiem tej co wzięliśmy na pierwszym miejscu, czyli 6. Na następnym 5, itd.

Zadanie 4
Powiedzmy, że wrogowie to zbiory A i B.
Wybieramy dowolne miejsce przy stole. Posadzimy tam osobę z zbioru A. Mamy ich do dyspozycji pięciu.
Na następnym osobę z zbioru B i też ich jest 5. Kolejne miejsce zajmuje osoba z A, ale już ich jest czterech. Później B i też jest ich 4. Itd.
Otrzymaliśmy coś takiego \(\displaystyle{ 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1}\)
Ostatnie mnożenie przez 2 jest po to, gdyż możemy zacząć ich układać za stołem od zbioru B, a zaczęliśmy od A. Zrobiliśmy ciąg \(\displaystyle{ a,b,a,b,a,b,a,b,a,b}\), a może jeszcze być \(\displaystyle{ b,a,b,a,b,a,b,a,b,a}\).

[Vardamir]

Mi w drugim wyszło \(\displaystyle{ 2\cdot 6!}\) , które trzeba chyba jeszcze podzielić przez 2. Zapewne chodzi o te szóstki, których jest sztuk trzy. Kolega twierdzi że na pierwszym miejscu ma 4 możliwości doboru cyfry. Według mnie mam tylko dwie takie możliwości bo dla każdej szóstki dostajemy te same liczby. Dodatkowo trzeba to jeszcze podzielić przez dwa bo powtarzają nam się dwójki.

Ogólnie chodzi o to, że np. liczba 6662241 jest liczona kilkukrotnie dla zamienionych miejscami szóstek lub dwójek. A tutaj nie rozróżniamy która jest która.

[Pancernik]

To na pozostałych tak samo trzeba by było postąpić.

W zadaniu 2 trzeba chyba będzie zrobić permutacje z powtórzeniami.

[mat_61]

5) Każdemu elementowi zbioru przypisujemy jedną z literek tworzonych podzbiorów (czyli np. A lub B) - wariacje z powtórzeniami i odejmujemy dwa warianty w których wszystkie elementy trafiają do jednego podzbioru (to rozwiązanie dotyczy podzbiorów rozróżnialnych, jeżeli podzbiory są nierozróżnialne, to jest ich oczywiście o połowę mniej)

6) Ta liczba składa się z samych dziewiątek.